Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Në teorinë e probabilitetit, një funksion i dendësisë së probabilitetit ( PDF ), funksioni i dendësisë ose dendësia e një ndryshoreje rasti absolutisht të vazhdueshme, është një funksion vlera e të cilit në çdo zgjedhje (ose pikë) të caktuar në hapësirën e zgjedhjes (bashkësia e vlerave të mundshme të marra nga ndryshorja e rastit) mund të interpretohet se ofron një gjasë relative që vlera e ndryshores së rastit të jetë e barabartë me atë zgjedhje.

Grafiku kuti dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të një shpërndarjeje normale $N(0,\sigma ^{2})$ .

Vizualizimi gjeometrik i modës, medianës dhe mesatares së një funksioni arbitrar të dendësisë së probabilitetit njëmodal.

Në një kuptim më të saktë, PDF përdoret për të specifikuar probabilitetin që ndryshorja e rastit të bjerë brenda një diapazoni të caktuar vlerash, në krahasim me marrjen e një vlere të vetme. Ky probabilitet jepet nga integrali i PDF-së së kësaj ndryshoreje mbi atë shtrirje - domethënë, jepet nga zona nën funksionin e dendësisë, por mbi boshtin horizontal dhe midis vlerave më të ulëta dhe më të mëdha të shtrirjes. Funksioni i dendësisë së probabilitetit është kudo jonegativ, dhe sipërfaqja nën të gjithë lakoren është e barabartë me 1.

Termat funksion i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksion probabiliteti janë përdorur gjithashtu hera-herës për të shënuar funksionin e dendësisë së probabilitetit. Megjithatë, ky përdorim nuk është standard midis probabilistëve dhe statisticienëve. Në burime të tjera, "funksioni i shpërndarjes së probabilitetit" mund të përdoret kur shpërndarja e probabilitetit përcaktohet si një funksion mbi grupe të përgjithshme vlerash ose mund t'i referohet funksionit të shpërndarjes mbledhëse, ose mund të jetë një funksion i masës së probabiliteti (PMF) në vend të dendësisë. Vetë "funksioni i dendësisë" përdoret gjithashtu për funksionin e masës së probabilitetit, duke çuar në konfuzion të mëtejshëm. Sidoqoftë, në përgjithësi, PMF përdoret në kontekstin e ndryshoreve të rastit diskrete (ndryshore të rastësishme që marrin vlera në një grup të numërueshëm), ndërsa PDF përdoret në kontekstin e ndryshoreve të rastit të vazhdueshme.

Shembull

Supozoni se bakteret e një specie të caktuar zakonisht jetojnë 4 deri në 6 orë. Probabiliteti që një bakter të jetojë pikërisht 5 orë është i barabartë me zero. Shumë baktere jetojnë përafërsisht 5 orë, por nuk ka asnjë shans që ndonjë bakter i caktuar të vdesë pikërisht në orën 5.00... Megjithatë, probabiliteti që bakteri të vdesë ndërmjet orës 5 dhe asaj 5.01 është i matshëm. Supozoni se përgjigja është 0.02 (dmth. 2%). Pastaj, probabiliteti që bakteri të vdesë ndërmjet orës 5 dhe 5.001 orë duhet të jetë rreth 0.002, pasi ky interval kohor është një e dhjeta e gjatësisë së mëparshme. Probabiliteti që bakteri të vdesë nga ora 5 në 5.0001 orë duhet të jetë rreth 0.0002, e kështu me radhë.

Në këtë shembull, thyesa (probabiliteti i vdekjes gjatë një intervali) / (kohëzgjatja e intervalit) është afërsisht konstante dhe i barabartë me 2 në orë (ose 2 orë ^-1 ). Për shembull, ka 0,02 probabilitet për të vdekur në intervalin 0,01 orësh ndërmjet 5 dhe 5,01 orë, dhe (0,02 probabilitet / 0,01 orë) = 2 orë ⁻¹ . Kjo sasi 2 orë ⁻¹ quhet dendësia e probabilitetit për të vdekur rreth orës 5. Prandaj, probabiliteti që bakteri të vdesë në orën e 5-të mund të shkruhet si (2 orë ⁻¹ ) dt . Ky është probabiliteti që bakteri të vdesë brenda një dritareje pafundësisht të vogël kohore rreth 5 orë, ku dt është kohëzgjatja e kësaj dritare.

Ekziston një funksion i densitetit të probabilitetit f me f (5 orë) = 2 orë ⁻¹ . Integrali i f mbi çdo dritare kohore (jo vetëm dritare pafundësisht të vogla, por edhe dritare të mëdha) është probabiliteti që bakteri të vdesë në atë dritare.

Shpërndarjet njëndryshore absolutisht të vazhdueshme

Një funksion i dendësisë së probabilitetit shoqërohet më së shpeshti me shpërndarje absolutisht të vazhdueshme me një ndryshore. Një ndryshore e rastit $X$ ka dendësi $f_{X}$, ku $f_{X}$ është një funksion jo-negativ i integrueshëm sipas Lebegut, nëse:

$$\Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.$$

Prandaj, nëse $F_{X}$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes së $X$, pastaj:

$$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,$$

dhe (nëse $f_{X}$ është e vazhdueshme në $x$ )

$$f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).$$

Intuitivisht, mund të mendohet $f_{X}(x)\,dx$ si probabiliteti që $X$ të bjeri brenda intervalit infinitimal $[x,x+dx]$ .

Përkufizimi formal

( Ky përkufizim mund të zgjerohet në çdo shpërndarje probabiliteti duke përdorur përkufizimin matës-teorik të probabilitetit . )

Një ndryshore e rastit $X$ me vlera në një hapësirë të matshme $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ (zakonisht $\mathbb {R} ^{n}$ me grupet Borel si nënbashkësi të matshme) ka si shpërndarje probabiliteti masën X _∗ P në $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ : dendësia e $X$ në lidhje me një masë referimi $\mu$ në $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ është derivati i Radon-Nikodimit:

$$f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.$$

Kjo do të thotë, f është çdo funksion i matshëm me vetinë që:

$$\Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu$$

për çdo grup të matshëm $A\in {\mathcal {A}}.$