Integrali i vëllimit

Në matematikë (veçanërisht analizë matematike me shumë ndryshore ), një integral vëllimor (∭) i referohet një integrali mbi një domein 3-dimensional ; domethënë, është një rast i veçantë i integraleve të shumëfishta . Integralet e vëllimit janë veçanërisht të rëndësishëm në fizikë për shumë zbatime, për shembull, për të llogaritur dendësinë e fluksit .

Në koordinata

Mund të nënkuptojë gjithashtu një integral të trefishtë brenda një copëze vëllimore (rajoni) $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ të një funksioni $f(x,y,z),$ dhe zakonisht shkruhet si:

$$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

Një integral vëllimi në koordinatat cilindrike është

$$\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$$

dhe një integral vëllimi në koordinatat sferike merr formën

$$\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$$

Shembull

Integrimi i ekuacionit $f(x,y,z)=1$ mbi një kub njësi jep rezultatin e mëposhtëm:

$$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$$

Pra, vëllimi i kubit njësi është 1 siç edhe pritet. Megjithatë, kjo është një situatë e parëndësishme, dhe një integral i vëllimit është shumë më i fuqishëm. Për shembull, nëse kemi një funksion të dendësisë së këtij kubi, atëherë integrali i vëllimit do të japë masën totale të kubit. Për shembull për funksionin e densitetit:

$${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$$

masa totale e kubit është:

$$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$$