Kriteri i Hurwitz-it

Hyrje

Kriteri i Hurwitz-it është metodë analitike për shqyrtimin e stabilitetit absolut të sistemit. Metoda bazohet në gjetjen e pozicionit të poleve në rrafshin kompleks pa zgjidhur për rrënjët e ekuacionit karakteristik. Në rastet kur është dhënë ekuacioni karakteristik i rendit më të lartë se tre atëherë është shume e vështirë që rrënjet e tij të gjinden me metoda algjebrike, për këtë arsye aplikohen kriteret algjebrike. Metoda ngërthen në vetë llogaritjen e disa përcaktorëve që quhen përcaktorët e Hurwitz-it dhe nga rezultatet e së cilave arrijmë në konlluzione mbi stabilitetin e sistemit. Mirëpo të theksjomë se kriteri i Hurwitz-it nuk na jep kurrfarë informacioni mbi shkallën e stabilitetit të sistemit.

Përkufizimi formal

Të supozojmë se e kemi të njohur funksionin transmetues të sistemit të cilit dëshirojmë t'i analizojmë stabilitetin :

$a_{n}s^{2}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_{0}=0$

Konditë e nevojshme që për sistemin e përshkruar me ekuacionin e mësipërm të mund të aplikojmë kriterin e Hurwitz-it është që të gjithë koeficientët $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ të kenë parashenjë të njejtë. Ndërsa konditë e mjaftueshme që sistemi të jetë stabil është që të gjitha determinantat e Hurwitz-it të jenë pzoitive. Për sistemin e përshkruar me ekuacionin e mësipërm, përcaktori i Hurwitz-it ka formën:

$H={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&\dots &0\\a_{n}&a_{n-2}&a_{n-4}&\dots &\dots \\0&a_{n-1}&a_{n-3}&\dots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\dots &\dots &a_{2}&a_{0}&0\\\dots &\dots &a_{3}&a_{1}&0\\\dots &\dots &a_{4}&a_{2}&a_{0}\\\end{vmatrix}}.\,$

Shohim se përcaktori formohet në menyrë të atillë që reshti i parë fillon nga anëtari i dytë dhe vazhdon çdo i dyti. Kurse rreshti i dytë fillon nga anëtari i parë dhe poashtu vazhdon çdo i dyti. Rreshtat pasues janë rrethi i parë dhe i dytë vetëm të zhvendosura për një element të kolonës.

Nga përcaktorët e mësipërme rrjedhin nen-përcaktorët :

$H_{2}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}\\a_{n}&a_{n-2}\end{vmatrix}}.\,$

Nen-përcaktorët e rendit të tretë:

$H_{3}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}\\a_{n}&a_{n-2}&a_{n-4}\\0&a_{n-1}&a_{n-3}\end{vmatrix}}.\,$

Tani t'i theksjomë disa raste dhe kushtet që duhet plotësuar që sistemi të jetë stabil.

Sistemi i rendit të parë

Ekuacioni karakteristik i sistemit të rendit të parë ka formën:

$a_{1}s+a_{0}=0$

Në këtë rast shihet se $H_{1}=a_{0}$ andaj kushti që sistemi të jetë stabil është që $a_{0}>0$

Sistemi i rendit të dytë

Ekuacioni karakteristik ka formën:

$a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0$

Përcaktorët përkatëse do jenë: $H_{1}=a_{1}$

dhe

$H_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&0\\a_{2}&a_{0}\end{vmatrix}}.\,$

Nga kushtet që $H_{1}>0$ dhe $H_{2}>0$ do konlukojmë se sistemi do jetë stabil kur:

$a_{1}>0$ dhe $a_{1}a_{0}>0$

dhe në mëmyrë të ngjashme vazhdohet për sistemet e cilido rend.

Shembull

Të marrim në shqyrtim sistemin ekuacioni karakteristik i të cilit është:

$s^{3}+12s^{2}+28s+46=0$

Fillimisht shohim se të gjithë koeficientët kanë parashenjë të njejtë andaj plotësohet kondita e nevojshme. Formohen determinantat përkatëse:

$H_{1}=12$

$H_{2}={\begin{vmatrix}12&46\\1&28\end{vmatrix}}.\,$

$H_{3}={\begin{vmatrix}12&46&0\\1&28&0\\0&12&46\end{vmatrix}}.\,$

Pasi të llogariten determinantat do gjejmë se plotësohet edhe kondita e mjaftueshmë që deteminantat të jenë pozitive andaj sistemi i përshkruar me ekuacionin e mësipërm është stabil.

Shënime

Përkundër asaj që kriteri i Hurwitz-it mundëson shqyrtimin e stabilitetit të sistemin pa zgjidhur për rrënjët e ekuacionit karaktëristik, në rastet kur kemi të bëjmë me sisteme të rendeve të larta llogaritjet që duhet bërë janë shumë të mundimshme andaj ky kriter bëhet i papërshtatshëm. Si më i përshtatshëm është kriteri i Routh-it, i cili poashtu jep përgjigje vetëm për stabilitetin absolut të sistemit.

Mangësi të kriterit të Hurwitz-it janë:

• Nuk bën fjalë për metodat e kompensimit
• Për sisteme të rendeve të larta është i papërshtatshëm sepse nevojiten llogaritje të shumta
• Është i domosdoshëm ekuacioni diferencial që në praktikë shpesh është vështirë të nxirret
• Nuk tregon shkallën e stabilitetit të sistemit
• Nuk tregon ndikimin e parametrave në stabilitetin e sistemit

Shiko Gjithashtu

• Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
• Kriteri i Mihajllovit për stabilitet
• Kriteri i Routh-it
• Kriteri i Nyquist-it për stabilitet