Rrotullimet dhe pasqyrimet në dy dimensione
Në gjeometrinë Euklidiane, rrotullimet dhe pasqyrimet dy-dimensionale janë dy lloje të izometrive të rrafshit Euklidian që lidhen me njëra-tjetrën.
Procesi Redakto
Një rrotullim në aeroplan mund të formohet duke përbërë një çift reflektimesh. Së pari pasqyroni një pikë P në imazhin e saj P′ në anën tjetër të vijës . Pastaj reflektoni P′ në imazhin e tij P′ ′ në anën tjetër të rreshtit . Nëse drejtëzat dhe bëjnë një kënd θ me njëra-tjetrën, atëherë pikat P dhe P′ ′ do të bëjnë një kënd 2θ rreth pikës O, kryqëzimi i dhe . Dmth, këndi ∠ POP′′ do të masë 2θ .
Shprehje matematikore Redakto
Deklaratat e mësipërme mund të shprehen më matematikisht. Le të shënohet një rrotullim rreth origjinës O me një kënd si . Le të shënohet një reflektim rreth një drejtëze L përmes origjinës që bën një kënd me boshtin të shënohet si . Lërini këto rrotullime dhe reflektime të veprojnë në të gjitha pikat në rrafsh, dhe le të përfaqësohen këto pika me vektorë pozicioni. Pastaj një rrotullim mund të përfaqësohet si një matricë ,
Prova Redakto
Tabela e mëposhtme jep shembuj të matricave së rrotullimit dhe pasqyrimit :
Lloji | këndi θ | matricë |
---|---|---|
Rrotullimi | 0° | |
Rrotullimi | 45° | |
Rrotullimi | 90° | |
Rrotullimi | 180° | |
Reflektimi | 0° | |
Reflektimi | 45° | |
Reflektimi | 90° | |
Reflektimi | -45° |