Shpërndarja e Laplasit

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , shpërndarja e Laplasit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e cila e merr emrin nga Pierre-Simon Laplace . Nganjëherë quhet edhe shpërndarja eksponenciale e dyfishtë, sepse mund të mendohet si dy shpërndarje eksponenciale (me një parametër shtesë të vendndodhjes) të bashkuara së bashku përgjatë abshisës, megjithëse termi ndonjëherë përdoret gjithashtu për t'iu referuar shpërndarjes Gumbel . Ndryshesa midis dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara identikisht me ligj eksponencial, ndjek një shpërndarje Laplas, siç është një lëvizje Browniane e vlerësuar në një kohë të rastësishme të shpërndarë në mënyrë eksponenciale. Rritjet e lëvizjes Laplas ose një procesi variance gama të vlerësuar mbi shkallën kohore gjithashtu kanë një shpërndarje Laplace.

Laplas

Probability density function
Cumulative distribution function
Parametrat	$\mu$ shkalla (real) $b>0$ shkalla (real)
FDGJ	${\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}$
FGSH	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\frac {x-\mu }{b}}&{\text{nëse }}x\leq \mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x-\mu }{b}}}&{\text{nëse }}x\geq \mu \end{cases}}$
Kuantili	${\begin{cases}\mu +b\ln \left(2F\right)&{\text{nëse }}F\leq {\frac {1}{2}}\\[8pt]\mu -b\ln \left(2-2F\right)&{\text{nëse }}F\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}$
Vlera e pritur	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Varianca	$2b^{2}$
Shtrirja	$0$
Kurtoza e tepërt	$3$
Entropia	$\ln(2be)$

Përkufizimet

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Një ndryshore e rastit ndjek një shpërndarje ${\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ nëse funksioni i densitetit të probabilitetit të saj është:

$f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!$

Këtu, $\mu$ është një parametër i vendndodhjes dhe $b>0$, i cili nganjëherë quhet "diversitet", është një parametër i shkallës . Nëse $\mu =0$ dhe $b=1$, gjysmëdrejtëza pozitive është saktësisht një shpërndarje eksponenciale e shkallëzuar me 1/2.

Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes Laplas të kujton shpërndarjen normale ; megjithatë, ndërsa shpërndarja normale shprehet me ndryshesën në katror nga mesatarja $\mu$, dendësia e Laplasit shprehet në terma të ndryshimit absolut nga mesatarja. Rrjedhimisht, shpërndarja Laplace ka bishta më të trashë se shpërndarja normale.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Shpërndarja Laplas është e lehtë për t'u integruar (nëse dallohen dy raste simetrike) për shkak të përdorimit të funksionit të vlerës absolute . Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është si më poshtë:

${\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}$

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë jepet nga

$F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).$

Vetitë

Momentet

$\mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë $kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)$.
• Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ atëherë $bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$.
• Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$ atëherë $\left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)$ (shpërndarja eksponenciale).
• Nëse $X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ atëherë $X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$．
• Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë $\left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})$.
• Nëse $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë $X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)$ (shpërndarja normale e përgjithësuar).
• Nëse $X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)$ (shpërndarja normale) atëherë $X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ dhe $(X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$.
• Nëse $X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë ${\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)$ (shpërndarja hi katror).
• Nëse $X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ atëherë ${\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$. (shpërndarja F)
• Nëse $X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)$ (shpërndarja e njëtrajtshme) atëherë $\log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$.
• Nëse $X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ dhe $Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)$ (shpërndarja Bernuli) e pavarur nga $X$, atëherë $X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$.
• Nëse $X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ dhe $Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )$ e pavarur nga $X$, atëherë $\lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$．
• Nëse $X$ ka një shpërndarje Rademacher dhe $Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ atëherë $XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$.
• Nëse $V\sim {\textrm {Exponential}}(1)$ dhe $Z\sim N(0,1)$ e pavarur nga $V$, atëherë $X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)$.
• Nëse $X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)$ (shpërndarja gjeometrike e qëndrueshme) atëherë $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )$.
• Nëse $X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})$ me $Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)$ (shpërndarja Rayleigh ) atëherë $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$. Vereni së nëse $Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)$, atëherë $Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})$ me ${\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}$, e cila është e barabartë me ${\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))$.
• Dhënë një numër i plotë $n\geq 1$, Nëse $X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)$ (shpërndarja gamma, duke përdorur karakterizimin $k,\theta$ ), atëherë $\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ (pjestueshmëria e pafundme)
• Nëse X ka një shpërndarje Laplasi, atëherë Y = e^X ka një shpërndarje log Laplasi; anasjelltas, Nëse X ka një shpërndarje log Laplasi, atëherë logaritmi i saj ka një shpërndarje Laplasi.

Lidhja me shpërndarjen eksponenciale

Një ndryshore e rastit Laplas mund të përfaqësohet si ndryshesë e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura dhe identikisht të shpërndara ( iid ). Një mënyrë për ta treguar këtë është duke përdorur qasjen e funksionit karakteristik . Për çdo grup të ndryshoreve të rastit të vazhdueshme të pavarura, për çdo kombinim linear të këtyre ndryshoreve, funksioni i tij karakteristik (i cili përcakton në mënyrë unike shpërndarjen) mund të merret duke shumëzuar funksionet karakteristike përkatëse.

Konsideroni dy ndryshore të rastit iid $X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ . Funksionet karakteristike për $X,-Y$ janë përkatësisht:

${\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}$

Në shumëzimin e këtyre funksioneve karakteristike (e njëvlerëshme me funksionin karakteristik të shumës së ndryshoreve të rastit $X+(-Y)$ ), rezultati është

${\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Ky është i njëjtë me funksionin karakteristik për $Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$, që është

${\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.$

Inferenca statistikore

Dhënë $n$ zgjedhje të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, vlerësuesi i përgjasisë maksimale (MLE) të $\mu$ është mesatarja e mostrës,

${\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).$

Vlerësuesi MLE i $b$ është shmangia absolute mesatare nga mesorja,

${\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.$

Ndodhia dhe aplikimet

Shpërndarja e Laplasit është përdorur në njohjen e të folurit për të modeluar pararendësit në koeficientët DFT dhe në ngjeshjen e imazhit JPEG për të modeluar koeficientët AC të krijuar nga një DCT .

• Shtimi i zhurmës së nxjerrë nga një shpërndarje e Laplasit, me parametrin e shkallëzimit të përshtatshëm për ndjeshmërinë e një funksioni, në daljen e një query të bazës së të dhënave statistikore është mjeti më i zakonshëm për të siguruar privatësi diferenciale në bazat e të dhënave statistikore.

Shpërndarja e Laplasit e përshtatur në reshjet maksimale njëditore

• Në analizën e regresit, vlerësimi i devijimeve absolute më të pakta lind si vlerësimi i përgjasisë maksimale nëse gabimet kanë një shpërndarje Laplasi.
• Rregullimi Lasso mund të mendohet si një regresion Bejesi me një pararendës Laplasi për koeficientët.
• Në hidrologji shpërndarja e Laplasit zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu, e bërë me CumFreq, ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Laplas me reshjet maksimale vjetore të renditura njëditore, duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e grafikuara si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
• Shpërndarja e Laplasit ka aplikime në financa. Për shembull, SG Kou zhvilloi një model për çmimet e instrumenteve financiare duke përfshirë një shpërndarje Laplasi (në disa raste një shpërndarje asimetrike Laplasi ) për të adresuar problemet e shtrembërimit, kurtozës dhe buzëqeshjes së paqëndrueshmërisë që ndodh shpesh kur përdoret një shpërndarje normale për çmimin e këtyre instrumenteve.

Historia

Kjo shpërndarje shpesh përmendet si "ligji i parë i gabimeve të Laplasit". Ai e botoi atë në 1774, duke modeluar frekuencën e një gabimi si një funksion eksponencial të madhësisë së tij mbasi shenja e tij shpërfillej. Laplasi më vonë do ta zëvendësonte këtë model me "ligjin e tij të dytë të gabimeve", bazuar në shpërndarjen normale, pas zbulimit të teoremës qëndrore limite.

Keynes botoi një punim në 1911 bazuar në tezën e tij të mëparshme ku ai tregoi se shpërndarja e Laplasit minimizonte devijimin absolut nga mesatarja.