Trajtimi klasik i tensorëve

Një tensor është një përgjithësim i koncepteve të vektorit dhe matricave. Tensorët na lejojnë që të shprehim ligjet fizike në një formë që është e aplikueshme në çdo sistem kordinativ. Për këtë arsye, ato përdoren shumë në mekanikën e vazhduar dhe në teorinë e relativitetit.

Një tensor është një transformim multi-dimensional invariant , që merr forma të ndryshme nga një sistem kordinativ në një tjetër. Ai merr formën:

$T_{\left[j_{1},j_{2},j_{3},...j_{m}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},i_{3},...i_{n}\right]}$

Sistemi i ri kordinativ paraqitet nga 'me vizë'(${\bar {x}}^{i}$), dhe sistemi i vjetër kordinativ është pa vizë($x^{i}$).

Indekset e larta [$i_{1},i_{2},i_{3},...i_{n}$] janë komponent kontravariantë, dhe indekset e poshtme [$j_{1},j_{2},j_{3},...j_{n}$] janë komponentët kovariantë.

Tensorët kontravariantë dhe kovariantë

Një tensor kontravariant i rendit të 1($T^{i}$) përcaktohet si:

${\bar {T}}^{i}=T^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{r}}}.$

Një tensor kovariant i rendit të 1($T_{i}$) përcaktohet si:

${\bar {T}}_{i}=T_{r}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}.$

Tensorët e pergjithshëm

Nje tensor i pergjithshem më shumë-rendor është thjesht një prodhim tensorial i tensorëve të rendit të parë:

$T_{\left[j_{1},j_{2},...j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},...i_{p}\right]}=T^{i_{1}}\otimes T^{i_{2}}...\otimes T^{i_{p}}\otimes T_{j_{1}}\otimes T_{j_{2}}...\otimes T_{j_{q}}$

e tillë që:

${\bar {T}}_{\left[j_{1},j_{2},...j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},...i_{p}\right]}=T_{\left[s_{1},s_{2},...s_{q}\right]}^{\left[r_{1},r_{2},...r_{p}\right]}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{r_{1}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{2}}}{\partial x^{r_{2}}}}...{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{p}}}{\partial x^{r_{p}}}}{\frac {\partial x^{s_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{1}}}}{\frac {\partial x^{s_{2}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{2}}}}...{\frac {\partial x^{s_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{q}}}}.$

Kjo zakonisht quhet ligji i transformimit tensorial.

Shikoni gjithashtu

• Derivati i tensorit
• Diferencimi absolut
• Kurbatura
• Gjeometria Rimaniane

Lexime të mëtejshme

• Schaum's Outline of Tensor Calculus
• Synge and Schild, Tensor Calculus, Toronto Press: Toronto, 1949