Produkti diadik

Në matematikë, në vecanti në algjebrën multilineare, produkti diadik

$\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$

i dy vektorëve, $\mathbf {u}$ dhe $\mathbf {v}$, ku seicili ka të njejtin dimension, është produkti tensorial i vektorëve i cili rezulton në një tensor të rendit të dytë dhe të rendit të parë.

Komponentet

Në lidhje me një baze të zgjedhur $\{\mathbf {e} _{i}\}$, komponentet $P_{ij}$ e produktit diadik $\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ mund të përcaktohen si

$\displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}$ ,

ku

$\mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}$ ,

$\mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}$ ,

dhe

$\mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$ .

Paraqitja përmes matricave

Produkti diadik mund të paraqitet thjesht si një matrice katrorë e marrë nga shumezimi $\mathbf {u}$ si një vektor kolonë nga $\mathbf {v}$ si një vektor rrjesht. Për shembull,

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},$

ku shigjeta tregon se ky është vetëm një paraitje e caktuar e produktit diadik, që i referohet veçanrisht një baze të caktuar. Në këtë paraqitje, produkti diadik është një rast special i prodhimit Kroneker.

Identitete

Identitete e meposhtme janë një konsekence direkte e përcaktimit të prodhimit diadik :

${\begin{aligned}(\alpha \mathbf {u} )\otimes \mathbf {v} &=\mathbf {u} \otimes (\alpha \mathbf {v} )=\alpha (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ),\\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} &=\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} &=\mathbf {u} \;(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ),\\\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\;\mathbf {w} .\end{aligned}}$

Shikoni gjithashtu

• Tensori diadik
• Prodhimi tensorial
• Prodhimi Kroneker
• Prodhimi i jashtem

Referime

A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0486435946. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).