Versioni i datës 30 maj 2011 10:47 redakto ENoether (diskuto \| kontribute) 56 edits vNo edit summary ← Redaktim më i vjetër		Versioni i datës 13 tetor 2012 18:12 redakto zhbëje Roboti Tung (diskuto \| kontribute) Përdorues automatikisht të kontrolluar, Robotë, Redaktorët 37.633 edits v Robot: ndryshime kozmetike Ndryshimi më pas →
Rreshti 1: == Përkufizimi == Rregulla '''ƒ''' sipas së cilës çdo pikë <math> M(x,y) </math> nga një zonë ''D'' (domeni i [[Funksioni \| ''funksionit'']]) në [[Sistemi koordinativ kartezian\|sistemin koordinativ]] ''xoy'' i korrespondohet një dhe vetëm një numër real ''z'' nga [[Bashkësitë \|''bashkësia numerike'']] ''R'' (kodomeni i funksionit) dhe çdo numri nga ''R'' i përgjigjet së paku një pikë nga ''D'', e quajmë '''[[funksion me dy variabla]]'''.<ref>Funksionet me dy e më shumë variabla.Hajdar Peci. Matematika 2. Fakulteti elektroteknik në Prishtinë 2008.</ref> dhe simbolikisht shënohet <math> z=f(M) </math> ose <math> z=f(x,y). </math> === Grafiku i funksionit === [[~~image~~Skeda:Three-dimensional graph.png\|right\|thumb\|300px\|Grafiku i [[Funksionet trigonometrike \|''funksionit'']] ''f(x, y) = [[sinusoida\|sin]](x<sup>2</sup>)·[[Trigonometria\|cos]](y<sup>2</sup>)''.]] [[Grafiku\|''Grafiku i funksionit'']] <math> z=f(x,y). </math> zakonisht paraqet një [[Sipërfaqja\|''sipërfaqe'']], ndërprerjet e saj me rrafshe paralele <math> z=c </math> janë [[Lakorja\|''lakore'']], projeksionet e të cilave në rrafshin ''xOy'' kanë [[Ekuacioni \|''ekuacionet'']] <math> f(x,y)=c </math> dhe quhen [[Lakorja\|lakore]] nivelore. Për funksionin me tri variabla quhen [[Sipërfaqja\|''sipërfaqe'']] nivelore. === Limiti i funksionit === Rrethinë me rreze ''δ'' ose ''δ''-rrethinë të pikës ''M₀(x₀,y₀)'' në rrafshin ''xOy'' e quajmë bashkësinë e të gjitha [[Pika\|''pikave'']] <math> M(x,y) </math> që gjenden brenda rrethit me rreze ''δ'' e me qendër në [[Pika\|''pikën'']] M₀. Pikën M₀ e quajmë pikë grumbullimi të zonës ''D'' në qoftë se në çdo ''δ''-rrethinë të saj ekziston së paku një pikë ''M₀'' e ndryshme nga ''M'' e cila i takon zonës ''D''. Pika M₀ mund t'i takojë ose mos t'i takojë zonës ''D''. Numrin '' A '' e quajmë '''[[Limiti\|''limit të funksionit'']]''' ''ƒ'' në pikën e grumbullimit ''M₀'' të domenit ''D'' në qoftë se për çdo Rreshti 23: : <math> \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < \|x - c\| < \delta \ \Rightarrow \ \|f(x) - A\| < \varepsilon).</math> Pika ''M'' mund të tentoj në pikën ''M₀'' në mënyrë të çfarëdoshme , nëpër ndojnë [[Segmenti\|''segment'']], lakore etj.Nëse eksiston [[Limiti\|''limiti i funksionit'']] ''ƒ'' në pikën ''M₀'' atëherë ai nuk varet nga rruga nëpër të cilën ''M'' → ''M₀''. === Vazhdueshmëria e funksionit === Le të jetë <math> z=f(x,y) </math> funksion i përkufizuar në zonën ''D'' dhe ''M₀(x₀,y₀)'' një pikë grumbullimi e kësaj zone. Funksioni '''ƒ''' quhet i '''vazhdueshëm''' në pikën ''M₀'' në qoftë se Rreshti 32: ku ''a'' ''='' <math>M(x,y)</math> dhe ''c'' ''='' ''M₀(x₀,y₀)''. Funksioni ''ƒ'' është i vazhdueshëm në një [[Bashkësitë \|''bashkësi'' ]] ''D'' në qoftë se është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë ''D''. Le të jetë <math>Z=(x,y)</math> funksion i dy variablave dhe ''Δx'' e ''Δy'' shtesat e variablave ''x'' e ''y'', atëherë diferencën :<math>\Delta z = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x},\mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).</math> e quajmë [[Diferenciali \|''shtesa totale'' ]] e funksionit ''ƒ'' në pikën <math>(x,y)</math> , ndërsa diferencat :<math>\Delta z_x = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x},\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).</math> Rreshti 43: :<math>\Delta z_y = f(\mathbf{x},\mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).</math> i quajmë [[Derivati pjesor \|''shtesa parciale'' ]] e funksionit ''ƒ'' në pikën <math>(x,y)</math> në lidhje me argumentet ''x'' e ''y''. Funksioni ''ƒ'' është i vazhdueshëm në pikën ''M₀'' nëse :<math>\lim_{a \to c}\Delta z =0 </math>. ku ''c ='' <math>M(x,y) </math> kurse ''a ='' <math>M_0(x_0,y_0)</math>. Në qoftë se : <math>\lim_{\Delta x\to 0} \Delta z_x =0 </math> atëherë themi se funksioni ''ƒ'' është i [[Funksionet e vazhdueshme\|vazhdueshëm ]] në pikën <math>M_0(x_0,y_0) </math> në lidhje me variablën ''x''. Ndërsa vazhdueshmëria e funksionit sipas ''y'' : <math>\lim_{\Delta y\to 0} \Delta z_y =0 </math>. Rreshti 59: Nëse funksioni ''ƒ'' është i vazhdueshëm në pikën <math>M_0(x_0,y_0) </math> atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë në lidhje me secilën variabël veç e veç. Anasjelltas nuk vlen. [[operacionet matematikore\|Operacionet]] e funksioneve të vazhdueshme janë funksione të vazhdueshme. [[~~File~~Skeda:Rapid Oscillation.svg\|thumb\|Vazhdueshmëria.]] == Referenca == Rreshti 67: * {{cite book \| author= Zenun Loshaj\|title= Matematika 2\| publisher= Fakulteti elektroteknik në Prishtinë (1996)}} == Për më tepër == * [[Ekuacionet e shkallës së përgjithshme]] * [[Ekuacione diferenciale]] * [[Funksionet trigonometrike]] * [[Bashkësitë]] [[Kategoria:Matematikë]]

Funksionet me shumë variabla: Dallime mes rishikimesh