Ndryshimi mes inspektimeve të "Teoria e grupeve"

268 bytes added ,  13 vjet më parë
Çifti i renditur (G, ×), ku G është një bashkësi dhe × është një [[veprim i brendshëm]] mbi G, quhet '''grup''', në qoftë se plotësohen këto [[aksioma]] :
#[[vetia asociative]]: a × (b × c) = (a × b) × c për të gjithë elementet a, b, c nga G.
#[[elementi neutral]] / ([[elementi unitar]]): Një element ''e'' (quhet edhe njësh, element njësi) në G ekziston, ashtu që për të gjithë elementet a nga G vetia ''e'' × a = a është në fuqi.
#[[element simetrik]] / ([[i anasjelltë]]): Për çdo element a në G ekziston një element b, ashtu që a × b = b × a = ''e'' të plotësohet.
 
Në qoftë se ne grupin (G, ×) vlen a × b = b × a, perpër çdo element a, b nga G, atëherë (G, ×) quhet grup abelian (ose ndërrimtar ose komutativ).
 
Kur është e qartë se punojmë me veprimin ×, atëherë, në vend të (G, ×), themi se G është grup.
Direkt nga aksiomet e grupit rrjedhin këto pohime:
 
Direkt nga aksiometaksiomat e grupit rrjedhin këto pohime:
 
Në qoftë se për elementin neutral e të grupit G është në fuqi ekuacioni ''e'' x a = a për çdo a nga G,
Le të jenë e edhe e' dy elemente neutrale në grupin G. Atëherë ndjek qe e = e × e' = e', kështu qe e = e'.
 
Pra ne mund të flasim për elementin neutral të grupit G.
 
Simetriku b përPër çdo element a, elementi simetrik për të është i vetëm, sepse:
Pra ne mund të flasim për elementin neutral të grupit G. Zakonisht ky element shënohet si 1 në qoftë se lidhja × mbi grupin G është shënuar me mënyrën e shumëzimit. Në rast se grupi G është abelian (ndërrimtar) shënimi i neutralit është 0 .
Le të jenë b dhe b' dy elementëelemente simetriksimetrike për elementin a, kështu qe a × b = b × a = ''e''
 
Simetriku b për çdo element a është i vetëm, sepse:
Le të jenë b dhe b' dy elementë simetrik për elementin a, kështu qe a × b = b × a = ''e''
dhe a × b' = b' × a = ''e''.
Atëherë ndjek që b = b × ''e'' = b × ( a × b') = (b × a) × b' = ''e'' × b' = b'. Kështu qëPrandaj ne mund të flasim
për elementin simetrik të elementit a.
për elementin simetrik te elementit a. Ne shkruajmë a<sup>-1</sup> := b. Në qoftë se ne e kemi të bëjmë me një grup abelian, atëherë e shënojmë për të anasjelltë e a-së a<sup>-1</sup> := -a.
 
Në qoftë se veprimi × mbi grupin G është shënuar me mënyrën e shumëzimit, atëherë zakonisht elementi neutral shënohet me 1, kurse elementi simetrik për a shënohet me a<sup>-1</sup>. Kurse, në rastet kur veprimi × mbi grupin G është shënuar me mënyrën e mbledhjes, atëherë zakonisht elementi neutral shënohet me 0, kurse elementi simetrik për a shënohet me -a.
 
Duhet theksuar se zakonisht, × shënohet me mënyrën e mbledhjes kur kemi të bëjmë me një grup abelian.
 
===Koncepte ne teorinë e grupeve===
Anonymous user