Derivati: Dallime mes rishikimesh
| [Redaktim i kontrolluar] | [redaktim i pashqyrtuar] |
Content deleted Content added
Olsi (diskuto | kontribute) |
|||
Rreshti 1:
[[Skeda:Tangent_to_a_curve.svg|parapamje|Grafiku i funskonit, i vizatuar me ngjyrë të zezë dhe një tangente e këtij funksioni, e vizatuar me ngjyrë të kuqe. Pjerrësia e tangentes është e barabartë me derivatin e funksionit në pikën e shënuar.]]
'''Derivati '''i një funksioni me ndryshore reale mat ndjeshmërinë e një sasie për të ndryshuar (një vlerë funksioni ose ndryshorja e varur), që përcaktohet nga një tjetër sasi (ndryshorja e pavarur). Derivatet janë një mjet themelor në analizën matematike. Për shembull, derivati i një pozicioni të një objekti që lëviz, në lidhje me [[Koha|kohën]], është [[shpejtësia]] e atij objekti
Derivati i një funksioni me një ndryshore të vetme në një pikë të caktuar, kur ekziston, është pjerrësia e tangentes ndaj grafikut të funksionit në atë pikë. Tangentja është përafrimi më i mirë linear i funskionit pranë asaj pike të dhënë. Për këtë arsye, derivati shpesh përshkruhet si "shkalla e ndryshimit të çastit", raporti i ndryshimit të çastit në ndryshoren e varur me ndryshimin e çastit në ndryshoren e pavarur.
Rreshti 6:
Derivatet mund të përgjithësohen edhe për funksionet me disa ndryshore reale. Në këtë përgjithësim, derivati interpretohet si një transformim linear grafiku i të cilit është përafrimi më i mirë linear me grafikun e funksionit origjinal. Matrica jakobiane është matrica që përfaqëson këtë transformim linear në lidhje me bazën e dhënë nga zgjedhja e ndryshoreve të pavarura dhe të varura. Mund të llogaritet në kushtet e [[Derivati pjesor|derivateve të pjesshme]] në lidhje me ndryshoret e pavarura. Për një funksion me vlera reale me disa ndryshore, matrica jakobiane reduktohet në vektorin gradient.
Procesi i gjetjes së derivatit quhet '''diferencim'''. Procesi i anasjelltë quhet ''antidiferencim''. Teorema themelore e analizës matematike thotë se antidiferencimi është i njëjtë me [[integrali|integrimin]]. Diferencimi dhe integrimi përbëjnë dy veprime themelore në analizën me funksione me një ndryshore.
== Diferencimi
''Diferencimi'' është veprimi i llogaritjes së derivatit. Derivati i një funksioni {{math|''f''(''x'')}} të një ndryshoreje {{math|''x''}} është një matje e shkallës në të cilën vlera e funksionit ndryshon në lidhje me ndryshimin e ndryshores. Quhet ''derivati'' i {{math|''f''}} në lidhje me {{math|''x''}}. Nëse {{math|''x''}} dhe {{math|''y''}} janë [[numrat realë|numra realë]], dhe nëse grafiku i {{math|''f''}} ndërtohet sipas {{math|''x''}}, derivati është pjerrësia e këtij grafiku në çdo pikë.
Rasti më i thjeshtë, përveç rastit të funksioni konstant, është kur {{math|''y''}} është një funksion linear i {{math|''x''}}, që do të thotë që grafiku i {{math|''y''}} pjesëtuar me {{math|''x''}} është një drejtëz. Në këtë rast, {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''m'' ''x'' + ''b''}}, për numrat realë {{math|''m''}} dhe {{math|''b''}}, dhe pjerrësia {{math|''m''}} jepet nga
:<math>m=\frac{\text{ndryshimi në } y}{\text{ndryshimi në } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>
ku simboli {{math|Δ}} është shkurtim për shprehjen "ndryshimi në." Kjo formulë është e vërtetë
:<math>y+\Delta y=f\left( x+\Delta x\right)
=m\left( x+\Delta x\right) +b
| |||