|
== Një përgjithësim për gjëndjet e pastra ==
Konsideroni njenjë sistem mekaniko kuantik neme ''n''-nivele. Ky sistem pershkruhetpërshkruhet nga njenjë [[hapesirehapësirë Hilbertiane]] ''n''-permasorepërmasore ''H''<sub>''n''</sub>. HapesiraHapësira e gjendjeve tetë pastra eshteështë sipas percakimitpërcakimit bashkesia e rrezeve 1-dimensionale tetë ''H''<sub>''n''</sub>.
'''Teoreme'''. Le [[U(N)|U(''n'')]] tetë jetejetë njenjë [[grup Lie]] i matricave unitare me permasepërmase ''n''. AtehereAtëherë hapesirahapësira e gjendjeve tetë pastra tetë ''H''<sub>''n''</sub> mund tetë identifikohet ememe njenjë hapesirehapësirë kosete kompakte
:<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)). </math>
NeNë menyre qeqë tetë provojme ketekëtë fakt, vini re se kemi njenjë [[veprim grupi]][[transformim natyror|natyral]] te U(''n'') nenë bashkesinebashkësine e gjendjeve tetë ''H''<sub>''n''</sub>. Ky veprim eshteështë i vazhdueshem dhe [[tranzitiv]] ne gjendjet e pastra. PerPër cdo gjendjeje ψ, [[grupi izotrop]] i ψ, (i percaktuarpërcaktuar si bashkesiabashkësia e elementeve ''g'' tetë U(''n'') e tilletillë qeqë ''g'' ψ = ψ) eshteështë izomorfike me grupin e prodhimit
:<math> \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1). </math>
NeNë fjalorin e algjebresalgjebrës lineare, kjo mund tetë justifikohet si memë poshteposhtë. Cdo ''g'' e U(''n'') qeqë e le ψ tetë pandryshuar duhet tetë keteketë ψ si njenjë [[ajgenvektor]]. Meqenese ajgenvlera korresponduese duhet tetë jetejetë njenjë numernumër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) tetë grupit izotrop. Pjesa tjetertjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare nenë komplementin ortoigonal tetë ψ, e cialcila eshteështë izomorfike me U(''n'' - 1). Nga ky pohim i teoremes del nga faktet bazebazë perpër grupe veprimi tranzitive tetë grupeve kompakte.
Fakti i rendesishem ketukëtu eshteështë qeqë ''grupet unitare veprojne nenë menyre tranzitive nenë '' gjendjet e pastra.
Tani [[dimensioni]] (real) i U(''n'') eshteështë ''n''<sup>2</sup>. Kjo shikohet lehtelehtë meqenese relacioni eksponencial
:<math> A \mapsto e^{i A} </math>
eshteështë njenjë homeomorfizem lokal nga hapesirahapësira e matrices komplekse (e transpozuara e se cilescilës eshteështë e konjuguara komplekse) me U(''n''). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension ''n''<sup>2</sup>.
'''Rrjedhim'''. Dimensioni real i njenjë hapesireshapësirës sesë gjendjejeve tetë pastra tetë ''H''<sub>''n''</sub> eshteështë
2''n'' − 2.
NeNë fakt,
:<math> n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad </math>.
'''Rrjedhim'''. Dimensioni real i njenjë hapesireshapësirës sesë gjendjejeve tetë pastra tetë njenjë rregjistri kuantik me ''m'' kubite eshteështë 2<sup>''m''+1</sup> − 2.
== Gjeometria e operatoreve të densitetit ==
| 