Mekanika e Hamiltonit: Dallime mes rishikimesh

Për një sistem të mbyllur shuma e energjisë kinetike me energjinë potenciale jepet nga një set [[Ekuacionet diferenciale|ekuacionesh diferenciale]] te njohura si 'ekuacionet e Hamiltonit’' per atë sistem. Funksioni Hamiltonian mund të përdoret per te përshkruar sisteme te thjeshta si një top qe përplaset poshte e larte, një lavjerrës ose lekundjet e një suste ne të cilën energjia ndryshon nga kinetike në potenciale ne menyrë te vazhdueshme gjate një intervali kohor. Funksionet Hamiltoniane mund te perdoren ne modelimin e energjise ne sisteme komplekse dinamike si per shembull në orbitat planetare apo ne mekaniken kuantike. <ref>[http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.013a/textbook/chapter16/section03.html The Hamiltonian] MIT OpenCourseWare website 18.013A Chapter 16.3 Accessed February 2007</ref>

Ekuacionet e Hamiltonit jepen si me poshtë :

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)</math>

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q(t) =~~\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)</math>

Per një derivim te detajuar te ketyre ekuacioneve shikoni seksionin mbi [[Mekanika e Lagranzhit|mekanikën e Lagranzhit]] me poshte .

===Interpretimi fizik , mnemoteknika===

Interpretimi më i thjeshtë i ekuacioneve të Hamiltonit jepet më poshtë, duke i aplikuar ato në një sistem një-dimensional qe përbehet nga një thërrmije e vetme me mase ''m'' për të cilën është i vërtetë [[Ligji i ruajtjes se energjise|ligji i ruajtjes së energjisë]] :

[[Mekanika e Hamiltonit|Funksioni Hamiltonian]] ''<math>\mathcal{H}</math>'' përfaqeson [[Energjia|energjinë]] e sistemit, e cila është shuma e [[Energjia kinetike|energjisë kinetike]] dhe asaj [[Energjia potenciale|potenciale]], tradicionalisht te quajtura ''T'' & ''V'', respektivisht. Këtu ''q'' është kordinata ''x'' dhe momenti ''p'', ose ''mv.'' Atehere

: <math>\mathcal{H} = T + V , \quad T = \frac{p^2}{2m} , \quad V = V(q) = V(x). </math>

Vini re se ''T'' është një funksion vetem i ''p'' , kurse ''V'' është një funksion vetem i ''x'' (ose ''q'').

Tani derivati ne lidhje me kohen i momentit ''p'' është i barabartë me ''forcën Njutoniane'', kështu që ketu ekuacioni i pare i Hamiltonit tregon që forca mbi thërrmijen është e barabarte me shpejtesine e ndryshimit te humbjes së energjise potenciale ne lidhje me ndryshimet ne pozicionin ''x,''. (Forca jepet nga minus [[gradienti]] i energjisë potenciale.)

Derivati-kohor i ''q'' ketu ka kuptimin e shpejtësisë : ekuacioni i dyte i Hamiltonit tregon se shpejtesia e thërrmijes ështe e barabarte me derivatin e energjisë kinetike ne lidhje me momentin. (Per derivatin ne lidhje me ''p'' te ''p²/2m'' e barabarte me ''p/m = mv/m = v.'')

#Së pari shkruani [[Funksioni i Lagranzhit|funksionin e Lagranzhit]] ''L'' = ''T'' – ''V''. Shkruaj ''T'' dhe ''V'' sikur po shkruaje ekuacionet e Lagranzhit për sistemin ne fjalë.

<math>\mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}</math>.

Shndërro shpejtësite me rezultatin qe morët ne hapin e tretë (3). Apliko ekuacionet e Hamiltonit.

Së pari një sqarim mbi atë që në këtë artikull kemi quajtur moment, momenti ketu percaktohet si p = mv. Ne tekstet shqiptare kjo madhesi zakonisht quhet impuls. Kjo nuk eshtë e saktë sepse impulsi është ndryshimi i momentit. Per hollesi te metejshme shikoni artikujt mbi [[impulsi]]n dhe [[momenti]]n.

Ekuacionet e Hamiltonit jane tërheqese ne thjeshtësine e tyre mahnitese me [[Simetria|simetrinë]] paksa te (''[[Simetria e thyer|thyer]] '') Ato jane analizuar nga çdo këndvështrim i mundshem, që nga fizika e thjështë deri te [[gjeometria simplektike]]. Shumë dihet mbi zgjedhjet e ketyre ekuacioneve, megjithatë në rastin e përgjithshëm, zgjedhjet ekzakte te [[ekuacioneve te levizjes]] nuk mund te jepet në menyrë eksplicite për një sistem me më shumë se dy pika lendores. Rezultati i [[konservimi i madhesise|madhesive te konservuara ]] luan një rol shumë te rendesishem ne kerkimin per zgjedhjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyren e tyre. Ne modele me një numer te pafundëm [[grada lirie (fizike dhe kimi)| gradash lirie]], kjo ështe shumë më e komplikuar.

Një zonë interesante dhe premtuese kerkimi , eshtë studimi i [[sistemeve te integrueshme]], ku një numër i pafundëm i madhesive konservuese mund te ndërtohet.

Termi në anen e majte është funksioni Hamiltonian qe ne percaktuam me pare, keshtu qe tani gjejme :

Ku barazimi i dyte është i vertetë per shkak te vetë percaktimit te derivateve pjesore. Duke bashkuar termat nga te dyja anet , ekuacioni i mesiperm jep ekuacionet e Hamiltonit :

Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin ''N'' variabla te asaj madhësie. Mekanika Hamiltoniane kërkon qe të zëvendesoje variablat e shpejtesisie së pergjithshme me variablat e impulsit te përgjithshem, qe njihen gjithashtu si ''momenti i konjuguar''. Duke vepruar në këtë mënyrë , është e mundur që të trajtosh sisteme te caktuara, si për shembull aspekte te ndryshme të mekanikës kuantike, që ndryshe do të ishin akoma më të veshtira.

Për çdo variable te shpejtësise se pergjithshme , ekziston një variabël e [[momenti i konjuguar|momentit te konjuguar]], që percaktohet si :

Një gjë që nuk ështe shumë e qarte në këte formulim qe varet nga sistemi kordinativ është se kordinata të ndryshme të përgjithsme nuk jane gjë tjetër veçse kordinatizime të ndryshme të të njëjtit [[manifold simplektik]].

Funksioni ''Hamiltonian'' është [[Transformimi i Lazhandrit|transformimi Lazhandrian]] i [[Funksioni i Lagranzhit|funksionit Lagranzhian]] :

Nëqoftese ekuacionet e transformimit që përcaktojne kordinatat e përgjithshme janë te pavarura nga ''t'', si dhe nëqoftëse funksioni Lagranzhian eshtë një shumë e produkteve të funksioneve (në kordinata te pergjithsme) qe jane homogjene ne rend zero,rend të parë ose te dytë, atehere mund të tregohet se ''H'' është e barabarte me energjine e pergjithshme ''E'' = ''T'' + ''V''.

Çdo anë e relacionit ''<math>\mathcal{H}</math>'' prodhon një diferencial :

Duke zëvendesuar relacionin per momentin e konjuguar në këtë ekuacion dhe duke analizuar çdo koefiçent, ne arrimë në ekuacionet e levizjes se mekanikes Hamiltoniane, te njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit :

Ekuacionet e Hamiltonit janë [[ekuacione diferenciale]] të rendit te pare, pra ato janë shumë më të lehta per tu zgjidhur ne krahasim me ekuacionet e Lagranzhit të cilat janë të rendit të dytë. Megjithatë hapat që duhen marrë per te arritur te keto ekuacione jane shumë më të veshtira ne krahasim me ato te mekanikes se Lagranzhit, duke filluar me kordinatat e pergjithsme te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, pastaj të shprehim çdo shpejtesi te pergjithshme me ane te momentit të konjuguar, si dhe te zevendesojme shpejtësite e pergjithshme në funksionin Hamiltonian me momentet e konjuguara. Pra me një fjale, siç shikohet , nuk ka ndonjë ndyshim te madh ne sasine e punes qe duhet bërë për të zgjidhur një problem në mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekanikën e Lagranzhit. Në fund të fundit , ajo jep të njëjten zgjidhje si në mekaniken e Lagranzhit ose edhe më thjesht si nga [[ligjet e Njutonit]].

Një sistem Hamiltonian mund te shikohet si një [[tufe fibrash (matematike)|tufë fibrash]] ''E'' mbi [[koha|kohen]] ''R'', me një [[bashkesi baze|fiber]] ''E''_''t'', ku ''t'' ∈ ''R'' është pozicioni në hapësire. Funksioni Lagranzhian është një funksion mbi një [[tufe xhetesh]] ''J'' mbi ''E'' ; duke marre [[Transformimi i Lazhandrit|transformimin Lazhandrian]] ne lidhje me fibrat e funksinonit Lagranzhian , kjo jep një funksion ne një tufe duale, fibra e së cilës ''t'' është [[hapesira kotangjente]] ''T''^*''E''_''t'', e cila është e pajisur me një [[forma simplektike|formë simplektike]] natyrale, ky funksion është funksioni Hamiltonian.

Ekuacioni i më lartëm i Hamiltonit është i vlefshëm në [[mekanika klasike|mekanikën klasike]], por jo për [[mekanika kuantike|mekanikën kuantike]], sepse ekuacionet diferenciale që diskutuam më lart marrin parasysh që ne kemi mundësinë të kemi njohuri të plotë mbi pozicionin dhe momentin (impulsin) e thërmijës për çdo moment në kohë. Megjithatë, ekuacionet mund të përgjithësohen edhe më tej, si për shembull në mekanikën kuantike ose edhe në mekanikën klasike duke shfrytëzuar transformimet nëpërmjet [[Algjebra e Puasonit|algjebrës së Puasonit]] mbi ''p'' dhe ''q'', ,deri te algjebra e [[Parantezat e Mojalit| parantezave te Mojalit]].

Ku ''f'' është një funksion i ''p'' dhe ''q'', dhe ''H'' është funksioni Hamiltonian. Për të gjetur rregullat për të llogaritur një [[Parantza e Puasonit|paranteze Puasoni]] pa përdorur ekuacione diferenciale , referoju artikullit mbi [[Algjebra e Liut| algjebrën e Liut]] ; një parantezë Puasoni është emri i një paranteze të Liut në [[Algjebra e Puasonit|algjebrën e Puasonit]].

Në fakt, kjo mënyrë algjebrike jo vetëm që na lejon që të zgjerojmë nocionin e [[Distribucioni i probabilitetit|distribucionit të probabilitetit]] në [[Hapesira fazale|hapësirën fazale]] në [[distribucionin e kuazi-probabilitetit të Wignerit]], por gjithashtu është një metodë më e fuqishme veçanrisht në trajtimin klasik, ku ndihmon për analizimin e [[Madhesi e konservuar|madhësive të konservuara]] në një sistem.

Për cdo funksinon ''H'' qe ka vlere reale dhe është [[kunksion i lemuar|i lemuar]] ne një [[manifold simplektik]] ne mund te percaktojme një [[Fushe vektoriale Hamiltoniane|sistem Hamiltonian]]. Funksioni ''H'' njihet si '''Hamiltoniani''' ose '''funksioni i energjise'''. Manifoldi simplektik ne kete rast quhet [[hapesira fazale|hapesire fazale]]. Funksioni Hamiltonian indukton një [[fushe vektoriale]] speciale ne manifoldin simpletik, e cila njihet si [[fusha vektoriale simplektike]].

Fusha vektoriale simplektike, që gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shakton një [[rrjedhe Hamiltoniane]] ne manifold. [[Kurbat integrale]] të fushes vektoriale janë një familje me një parameter e transformimeve ne manifold; parametri i kurbave zakonisht quhet '''kohe'''. Evolucioni kohor ne kete rast jepet nga [[simplektomorfizma]]t. Nga [[Teorema e Ljuvilit| Teorema e Ljuvilit]], çdo simplektomorfizem ruan [[formen e volumit]] ne [[hapesiren fazale]]. Grumbullimi i simplektomorfizmave te shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet '''mekanika e Hamiltonit''' e sistemit Hamiltonian.

Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu një veprim special te quajtur, [[parantezat e Puasonit]]. Parantezat e Puasonit veprojne mbi funksione ne një manifold simplektik, duke i dhene hapesires se funksioneve një structure qe quhet [[algjebra e Liut]].