Hipoteza e Riemannit: Dallime mes rishikimesh
| [redaktim i pashqyrtuar] | [redaktim i pashqyrtuar] |
Content deleted Content added
Armend (diskuto | kontribute) No edit summary |
Armend (diskuto | kontribute) No edit summary |
||
Rreshti 11:
Hipoteza e Riemannit njihet edhe si Problemi i tetë i Hilbertit(shih [[David Hilbert]]), kjo hipotezë është njëri nga gjashtë [[Problemet e Mileniumit|problemet e mileniumit]] për të cilin instituti amerikan [[Clay Mathematics Institute]] ofron shpërblimin prej 1 milion dollarësh për atë që e zgjidh këtë problem. Prej kur është formuluar ka tërhjekur vërejtjen e shumë matematikanëve. Në vitin 1973, [[Pierre Deligne]] vërtetoi se hipoteza e Riemannit është e vërtetë mbi fushat e fundme. Versioni i plotë i teoremës edhe sot mbetet i pazgjidhur edhepse llogaritjet me kompjuterë të fuqishëm ikanë gjetur 10 trillion zerot e para të cilat shtrihen në linjën kritike.
==Funksioni zeta i Riemannit==
Ky funksion për numrat kompleks ''s'' pjesa reale e të cilëve është më emadhe se 1 jepet me formulën
:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!</math>
[[Leonhard Euler]]i tregoi se ai është ekuivalent me prodhimin e Eulerit
:<math>\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>
këtu prodhimi i pafundëm merret sipas të gjithë numrave të thjeshtë ''p'', dhe është konvergjent për numrin kompleks ''s'' pjesa reale e të cilëve është më e madhe se 1. Konvergjenca e prodhimit të Eulerit tregon se funksioni ζ(''s'') nuk ka asnjë zero në këtë regjion sepse të gjithë faktorët janë të ndryshëm nga 0.
Hipoteza e Riemannit flet për zerot jashtë regjionit të konvergjencës të kësaj serie prandaj duhet të bëhet zgjërimi analitik i këtij funksioni për të gjithë numrat kompleks ''s''. Kjo mund të bëhet kur këtë funksion e shprehim me terma të funksionit eta të Dirichlet si në vazhdim. Nëse ''s'' është numër kompleks i cili pjesën reale e ka pozitive atëherë funksioni zeta i plotëson kushtet
:<math>
\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} =
\frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots
\!</math>
ku seria në anën e djathtë konvergjon sa herë ''s'' ka një pjesë reale më të vogël se 1 dhe konvergjon shumë ngadalë. Prandaj seria alternative e zgjëron funksionin zeta nga {{nowrap|Re(''s'') > 1}} deri te domeni {{nowrap|Re(''s'') > 0}}.
Në rrypin {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}} funksioni zeta e plotëson ekuacionin funksional
:<math>
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!.</math>
Tani mundemi ta përkufizojmë funksionin ζ(''s'') për të githë numrat kompleks jo zero ''s'' duke supozuar se ky barazim plotësohet jashtë rrypit, Le të jetë ζ(''s'') i barabartë me anën e djathtë të ekuacionit pasi ''s'' pjesën reale e ka jopozitive. Nëse ''s'' është numër i plotë negativ atëherë ζ(''s'') = 0 pasiqë faktori sin(π''s''/2) anulohet; këta janë '''zero triviale''' të funksionit teta.
(Nëse ''s'' është numër iplotë çift dhe pozitiv ky argumentim nuk vlen sepse zerot e sinusit thjeshtohen në polet e funksionit gama.) Vlerat [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0) = -1/2]] nuk mund të përcaktohen nga ekuacioni funksional por vlerat kufitare të ζ(''s'') kur ''s'' i afrohet zeros. Nga ekuacioni funksional gjithashtu rrjedh se nuk ka zero tjera përveç zerove triviale me pjesë reale negative kjo do të thotë se të gjitha zerot jotrivale shtrihen në '''rrypin kritik''' ku numri kompleks ''s'' pjesën reale e një numër që ndodhe ndëemjet 0 dhe 1.
Disa nga librat që i dedikohen kësaj hipoteze janë: {{harvtxt|Derbyshire|2003}}, {{harvtxt|Rockmore|2005}}, {{harvtxt|Sabbagh|2003}},
| |||