Ekuacioni i shkallës së katërt: Dallime mes rishikimesh

[redaktim i pashqyrtuar][redaktim i pashqyrtuar]
Content deleted Content added
v roboti shtoj: ar, ca, cs, de, es, fi, fr, he, it, ja, ko, lo, nl, pl, pt, ru, sv, th, uk, zh ndryshoj: en
No edit summary
Rreshti 14:
 
Kjo është shkalla më e lartë (pra shkalla e katërt) e një polinomi me koeficientë real i cili është i zgjidhshëm në radikale, pra me formula të cilat përdorin funksione elementare matematikore, këtë fakt e vërtetuan Abel-Ruffini në vitin 1824.
 
==Zgjidhja e ekuacionit===
 
Le të jetë dhënë ekuacioni
:<math>Q(x) = a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0.\,</math>
 
nëse
<math>a_0=0,\,</math>
atëherë <math>Q(0) = 0\,</math>,
kështtuqë zero është një rrënjë.
Për gjetjen e rrënjëve tjera, ne pjestojmë me <math>x\,</math>
dhe pastaj e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë,
:<math>a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1=0.\,</math>
 
është e qartë se rrënjët e tij janë 1, &minus;1 dhe &minus;''k''
 
nëse <math>a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0,\,</math>
atëherë
<math>Q(1) = 0\,</math>,
pra <math>1\,</math> është rrënjë.
Ngjajshëm nëse
<math>a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=0,\,</math>
atëherë,
<math>a_0+a_2+a_4=a_1+a_3,\,</math>
pra <math>-1\,</math> është rrënjë.
 
Kur <math>1\,</math> është rrënjë ne pjestojmë <math>Q(x)\,</math> me <math>x-1\,</math>
dhe fitojmë
:<math>Q(x) = (x - 1)p(x),\,</math>
ku <math>p(x)\,</math> është polinom i shkallës së tretë, i cili mund të zgjidhet.
Ngjajshëm nëse <math>-1\,</math> është rrënjë,
:<math>Q(x) = (x + 1)p(x),\,</math>
ku <math>p(x)\,</math> është polinom i shkalllës së tretë.
 
Nëse <math>a_2 = 0, a_3 = ka_4, a_0 = ka_1,\,</math>
atëherë &minus;''k'' është rrënjë atëherë e faktorizojmë <math>x+k\,</math>,
:<math>
\begin{align}
Q(x)
&=a_4 x^4 + k a_4 x^3 + a_1 x + ka_1
\\
&=(x + k)a_4x^3 + (x + k)a_1
\\
&=(x + k)(a_4x^3 + a_1).
\end{align}
</math>
 
dhe nëse <math>a_0=0, a_3=ka_4, a_1 = ka_2,\,</math>
atëherë rrënjë janë <math>0\,</math> dhe <math>-k\,</math>
Tani faktorizojmë
<math>x(x + k)\,</math> atëherë fitojmë
:<math>
\begin{align}
Q(x)
&=x(a_4x^3+ka_4x^2+a_2x+ka_2)
\\
&=x(x+k)(a_4x^2+a_2).
\end{align}
</math>
Përr të gjetur rrënjët tjera të ''Q'' ne e zgjidhim barazimin kuadratik.
 
Ekuacioni bikuadratik
 
Nëse <math>a_3=a_1=0,\,</math> atëherë
:<math>
Q(x) = a_4x^4+a_2x^2+a_0.\,\!
</math>
ky lloj ekuacioni zgjidhet shumë lehtë.
 
Le të jetë <math>z=x^2.\,</math>
atëherë ''Q'' bëhet kuadratik sipas <math>z,\,</math>
:<math>
q(z) = a_4z^2+a_2z+a_0.\,\!
</math>
Le të jetë <math>z_+\,</math> dhe <math>z_-\,</math> rrënjët e ''q''.
atëherë rrënjët e ''Q'' janë
:<math>
\begin{align}
x_1&=+\sqrt{z_+},
\\
x_2&=-\sqrt{z_+},
\\
x_3&=+\sqrt{z_-},
\\
x_4&=-\sqrt{z_-}.
\end{align}
</math>
 
Ekuacioni kuazisimetrik
 
: <math>a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2=0 \,</math>
 
Hapat e zgjidhjes:
 
1) Pjestojmë me ''x''<sup>&nbsp;2</sup>.
 
2) fusim ndryshoren ''z'' = ''x'' + ''m''/''x''.
 
Rasti i përgjithshëm
 
Në fillim e bëjmë reduktimin e rastit të përgjithshëm
Le të jetë
:<math> A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0 \qquad\qquad(1')</math>
forma e përgjithshme i ndajmë të dy anët e tij me ''A'',
:<math> x^4 + {B \over A} x^3 + {C \over A} x^2 + {D \over A} x + {E \over A} = 0. </math>
 
Në fillim e eliminojmë termin ''x''<sup>3</sup>. e ndryshojmë variablën nga ''x'' në ''u'', ashtuqë
:<math> x = u - {B \over 4 A} </math>.
atëherë
:<math> \left( u - {B \over 4 A} \right)^4 + {B \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right)^3 + {C \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right)^2 + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. </math>
zhvillojmë fuqitë e binomeve
:<math> \left( u^4 - {B \over A} u^3 + {6 u^2 B^2 \over 16 A^2} - {4 u B^3 \over 64 A^3} + {B^4 \over 256 A^4} \right)
+ {B \over A}
\left( u^3 - {3 u^2 B \over 4 A} + {3 u B^2 \over 16 A^2} - {B^3 \over 64 A^3} \right)
+ {C \over A}
\left( u^2 - {u B \over 2 A} + {B^2 \over 16 A^2} \right) + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. </math>
dhe i grupojmë aktorët pranë fuqive të njejta të ''u'' dhe fitojmë se
:<math> u^4 + \left( {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} \right) u^2 + \left( {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} \right) u + \left( {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A} \right) = 0. </math>
 
Tani i riemërojmë koeficientët e ''u''. Le të jetë
:<math>\begin{align}
\alpha & = {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} ,\\
\beta & = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} ,\\
\gamma & = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A} .
\end{align}</math>
dhe fitojmë ekuacionin
:<math> u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0 \qquad \qquad (1) </math>
i cili quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së katërt.
 
Nëse <math>\beta=0 \ </math> atëherë kemi ekuacion bikuadratik i cili u shqyrtua më sipër.
 
Nëse <math>\gamma=0 \ </math> atëherë njëra nga rrënjët është <math>u=0 \ </math> dhe rrënjët tjera gjindet kur ekuacionin e pjestojmë me <math>u</math>, dhe e zgjidhim ekuacionin që fitohet pas këtij pjestimi i cili është i shkallës së tretë
:<math> u^3 + \alpha u + \beta = 0 \,.</math>
 
nëse kthehemi te variablat e vjetra ne i gjejmë zgjidhjet sipas <math>x</math>.
 
===Zgjidhja sipas Ferrarit===
 
 
 
[[ar:معادلة درجة رابعة]]