|
:<math>\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\} </math>
Duke shkruar shpejtësiteshpejtësitë e përgjithshme
:<math>\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} </math>
[[Funksioni i Lagranzhit|Funksioni Lagranzhian]] mund te jepet si :
:<math>\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)</math>
Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin ''N'' variabla te asaj madhësie. Mekanika Hamiltoniane kërkon qe të zëvendesojezëvendësoje variablat e shpejtesisieshpejtësisë së pergjithshmepërgjithshme me variablat e impulsit te përgjithshempërgjithshëm, qeqë njihen gjithashtu si ''momenti i konjuguar''. Duke vepruar në këtë mënyrë, është e mundur që të trajtosh sisteme tetë caktuara, si për shembull aspekte tetë ndryshme të mekanikës kuantike, që ndryshe do të ishin akoma më të veshtiravështira.
Për çdo variable tetë shpejtësiseshpejtësisë se pergjithshmepërgjithshme, ekziston një variabël e [[momenti i konjuguar|momentit te konjuguar]], që percaktohetpërcaktohet si :
:<math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>
NeNë [[koordinata Karteziane]], momenti i përgjithshempërgjithshëm është [[momenti]] linear. Në [[Koordinata (matematike)|koordinata rrethore polare]], momenti i përgjithshempërgjithshëm që i korrespondon shpejtësiseshpejtësisë kendorekëndore është [[momenti kendorkëndor]]. Per Për një zgjedhje arbitrare [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatash te përgjitshmepërgjithshme]], zakonisht nuk është e mundur qeqë ti japeshjapësh një interpretim intuitiv momentit të konjuguar.
Një gjë që nuk ështeështë shumë e qarte në këtekëtë formulim qeqë varet nga sistemi koordinativ është se koordinata të ndryshme të përgjithsmepërgjithshme nuk janejanë gjë tjetër veçse koordinatizime të ndryshme të të njëjtit [[manifold simplektik]].
Funksioni ''Hamiltonian'' është [[Transformimi i Lazhandrit|transformimi Lazhandrian]] i [[Funksioni i Lagranzhit|funksionit Lagranzhian]] :
:<math>\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)</math>
Nëqoftese ekuacionet e transformimit që përcaktojnepërcaktojnë [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatat e përgjithshme]] janë te pavarura nga ''t'', si dhe nëqoftëse funksioni Lagranzhian eshtëështë një shumë e produkteve të funksioneve (në [[Koordinatat e përgjithshme|koordinata e përgjithshme]]) qeqë janejanë homogjene ne rend zero, rend të parë ose te dytë, atehereatëherë mund të tregohet se ''H'' është e barabarte me energjineenergjinë e pergjithshmepërgjithshme ''E'' = ''T'' + ''V''.
Çdo anë e relacionit ''<math>\mathcal{H}</math>'' prodhon një diferencial :
\end{align}</math>
Duke zëvendesuarzëvendësuar relacionin perpër momentin e konjuguar në këtë ekuacion dhe duke analizuar çdo koefiçentkoeficient, nenë arrimë në ekuacionet e levizjeslëvizjes sesë mekanikes Hamiltoniane, tetë njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit :
:<math>
</math>
Ekuacionet e Hamiltonit janë [[ekuacione diferenciale]] të rendit te pare, pra ato janë shumë më të lehta perpër tu zgjidhur ne krahasim me ekuacionet e Lagranzhit të cilat janë të rendit të dytë. Megjithatë hapat që duhen marrë perpër tetë arritur tetë ketokëto ekuacione janejanë shumë më të veshtiravështira nenë krahasim me ato tetë mekanikesmekanikës sesë Lagranzhit, duke filluar me [[koordinatat e përgjithshme]] te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, pastaj të shprehim çdo shpejtesishpejtësi tetë pergjithshmepërgjithshme me ane tetë momentit të konjuguar, si dhe te zevendesojmezëvendësojmë shpejtësiteshpejtësitë e pergjithshmepërgjithshme në funksionin Hamiltonian me momentet e konjuguara. Pra me një fjale, siç shikohet, nuk ka ndonjë ndyshim tetë madh nenë sasinesasinë e punespunës qeqë duhet bërë për të zgjidhur një problem në mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekanikën e Lagranzhit. Në fund të fundit, ajo jep të njëjtennjëjtën zgjidhje si në mekaniken e Lagranzhit ose edhe më thjesht si nga [[ligjet e Njutonit]].
Arsyeja thelbesorethelbësore perpër menyrenmënyrën tërheqëse të metodës së Hamiltonit është fakti se ajo tregon bazat e një structurestrukture tepër te thellë të mekanikës klasike.
== Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane ==
| 