Mekanika e Hamiltonit: Dallime mes rishikimesh

Kur kometrika është e degjeneruar, ajo nuk është e invertueshme. Në këtë rast, nuk kemi një manifold Rimanian, sepse nuk kemi një metrikë. Megjithatë, funksioni Hamiltonian ekziston akoma. Në rastin kur kometrika është e degjeneruar ne çdo pikë ''q'' të manifoldit në hapësirën e konfigurimit ''Q'', pra [[Rendi (matematikë)|rendi]] i kometrikës është më pak se dimension i manifoldit ''Q'', në këtë rast kemi një [[Manifoldet nën-Rimaniane|manifold nën-Rimanian]].

Funksioni Hamiltonian në këtë rast njihet si '''Hamiltoniani nën-Rimanian '''. Çdo Hamiltonian përcakton në një mënyre unike kometrikën, dhe anasjelltas. Kjo implikon se çdo [[Manifoldet nën-Rimaniane|manifold nën-Rimanian]] përcaktohet në një menyrëmënyrë unike nga një Hamiltonian nën-Rimanian, e anasjellta është gjithashtu e vërtetë : çdo manifold nën-Rimannian ka një funksion Hamiltonian unik nën-Rimanian. Ekzistenca e gjeodezikëve nën-Rimaniane jepet nga [[Teorema e Chow-Rashevskit|teorema e Çow-Rashevskit]].

Grupi real dhe i vazhdueshëm i [[Grupi i Hajzenbergut|Hajzenbergut]] jep një shembull të thjeshtë te një manifoldi nën-Rimanian. Per Për një grup Hajzenbergu, funksioni Hamiltonian jepet nga