Wikipedia

Mekanika e Hamiltonit: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
[redaktim i pashqyrtuar][redaktim i pashqyrtuar]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
No edit summary
Rreshti 12:
:<math>\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}</math>
 
Në ekuacionet e mëlartme, pika tregon derivatin e zakonshëm të funksionit në lidhje me kohën, ''p = p(t)'' (të quajtura momentiimpulsi i përgjithshëm) dhe ''q = q(t)'' (të quajtura [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatat e përgjithshme]]), të cilat marrin vlera ne një hapësire vektoriale të caktuar, tani ''<math>\mathcal{H}</math> = <math>\mathcal{H}(p,q,t)</math>'' është i ashtëquajturi [[Mekanika e Hamiltonit|funksion Hamiltonian]], ose funksioni skalar Hamiltonian. Në mënyrë më eksplicite kjo jepet si :
 
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)</math>
Rreshti 24:
Interpretimi më i thjeshtë i ekuacioneve të Hamiltonit jepet më poshtë, duke i aplikuar ato në një sistem një-dimensional që përbehet nga një thërrmije e vetme me masë ''m'' për të cilën është i vërtetë [[Ligji i ruajtjes se energjise|ligji i ruajtjes së energjisë]] :
[[Mekanika e Hamiltonit|Funksioni Hamiltonian]] ''<math>\mathcal{H}</math>'' përfaqeson [[Energjia|energjinë]] e sistemit, e cila është shuma e [[Energjia kinetike|energjisë kinetike]] dhe asaj [[Energjia potenciale|potenciale]], tradicionalisht të quajtura ''T'' & ''V'', respektivisht. Këtu ''q'' është koordinata ''x'' dhe momentiimpulsi ''p'', ose ''mv.'' Atëherë
 
: <math>\mathcal{H} = T + V , \quad T = \frac{p^2}{2m}, \quad V = V(q) = V(x). </math>
Rreshti 30:
Vini re se ''T'' është një funksion vetëm i ''p'', kurse ''V'' është një funksion vetëm i ''x'' (ose ''q'').
 
Tani derivati në lidhje me kohën i momentitimplulsit ''p'' është i barabartë me ''forcën Njutoniane'', kështu që këtu ekuacioni i parë i Hamiltonit tregon që forca mbi thërrmijën është e barabarte me shpejtësinë e ndryshimit të humbjes së energjisë potenciale në lidhje me ndryshimet në pozicionin ''x,''. (Forca jepet nga minus [[gradienti]] i energjisë potenciale.)
 
Derivati-kohor i ''q'' këtu ka kuptimin e shpejtësisë : ekuacioni i dytë i Hamiltonit tregon se shpejtësia e thërrmijës është e barabartë me derivatin e energjisë kinetike në lidhje me momentinimpulsin. (Për derivatin në lidhje me ''p'' të ''p<sup>2</sup>/2m'' e barabartë me ''p/m = mv/m = v.'')
 
=== Përdorimi i ekuacioneve te Hamiltonit ===
Rreshti 46:
 
=== Shënime ===
Së pari një sqarim mbi atë që në këtë artikull kemi quajtur moment, momentiimpulsi këtu përcaktohet si p = mv. Në tekstet shqiptare kjo madhësi zakonisht quhet impuls. Kjo nuk është e saktë sepse impulsi është ndryshimi i momentitimpulsit. Për hollësi të mëtejshme shikoni artikujt mbi [[impulsi]]n dhe [[momentivrulli]]n.
 
Ekuacionet e Hamiltonit janë tërheqëse në thjeshtësinë e tyre mahnitëse me [[Simetria|simetrinë]] paksa të (''[[Simetria e thyer|thyer]]''). Ato janë analizuar nga çdo këndvështrim i mundshëm, që nga fizika e thjeshtë deri te [[gjeometria simplektike]]. Shumë dihet mbi zgjedhjet e këtyre ekuacioneve, megjithatë në rastin e përgjithshëm, zgjedhjet ekzakte te [[ekuacioneve te lëvizjes]] nuk mund te jepet në mënyrë eksplicite për një sistem me më shumë se dy pika lëndores. Rezultati i [[konservimi i madhësisë|madhësive te konservuara]] luan një rol shumë te rëndësishëm në kërkimin për zgjedhjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyrën e tyre. Ne modele me një numër te pafundëm [[grada lirie (fizike dhe kimi)|gradash lirie]], kjo ashte shumë më e komplikuar.
Rreshti 59:
</math>
 
Tani momentivrulli (impulsi) i përgjithshëm u përcaktua si <math>p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}</math> keshtu qe ekuacionet e Lagranzhit na tregojnë se
<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = F_i
Rreshti 112:
:<math>\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)</math>
 
Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin ''N'' variabla te asaj madhësie. Mekanika Hamiltoniane kërkon qe të zëvendësoje variablat e shpejtësisë së përgjithshme me variablat e impulsit te përgjithshëm, që njihen gjithashtu si ''momentiimpulsi i konjuguar''. Duke vepruar në këtë mënyrë, është e mundur që të trajtosh sisteme të caktuara, si për shembull aspekte të ndryshme të mekanikës kuantike, që ndryshe do të ishin akoma më të vështira.
 
Për çdo variable të shpejtësisë se përgjithshme, ekziston një variabël e [[momentiimpulsi i konjuguar|momentitimpulsit te konjuguar]], që përcaktohet si :
 
:<math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>
 
Në [[koordinata Karteziane]], momentiimpulsi i përgjithshëm është [[momentiimpulsi]] linear. Në [[Koordinata (matematike)|koordinata rrethore polare]], momentiimpulsi i përgjithshëm që i korrespondon shpejtësisë këndore është [[momentiimpulsi këndor]]. Për një zgjedhje arbitrare [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatash te përgjithshme]], zakonisht nuk është e mundur që ti japësh një interpretim intuitiv momentitimpulsit të konjuguar.
 
Një gjë që nuk është shumë e qarte në këtë formulim që varet nga sistemi koordinativ është se koordinata të ndryshme të përgjithshme nuk janë gjë tjetër veçse koordinatizime të ndryshme të të njëjtit [[manifold simplektik]].
Rreshti 135:
\end{align}</math>
 
Duke zëvendësuar relacionin për momentinimpulsin e konjuguar në këtë ekuacion dhe duke analizuar çdo koeficient, në arrimë në ekuacionet e lëvizjes së mekanikes Hamiltoniane, të njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit :
 
:<math>
Rreshti 143:
</math>
 
Ekuacionet e Hamiltonit janë [[ekuacione diferenciale]] të rendit te pare, pra ato janë shumë më të lehta për tu zgjidhur ne krahasim me ekuacionet e Lagranzhit të cilat janë të rendit të dytë. Megjithatë hapat që duhen marrë për të arritur të këto ekuacione janë shumë më të vështira në krahasim me ato të mekanikës së Lagranzhit, duke filluar me [[koordinatat e përgjithshme]] te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, pastaj të shprehim çdo shpejtësi të përgjithshme me ane të momentitimpulsit të konjuguar, si dhe te zëvendësojmë shpejtësitë e përgjithshme në funksionin Hamiltonian me momentet e konjuguara. Pra me një fjale, siç shikohet, nuk ka ndonjë ndyshim të madh në sasinë e punës që duhet bërë për të zgjidhur një problem në mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekanikën e Lagranzhit. Në fund të fundit, ajo jep të njëjtën zgjidhje si në mekaniken e Lagranzhit ose edhe më thjesht si nga [[ligjet e Njutonit]].
 
Arsyeja thelbësore për mënyrën tërheqëse të metodës së Hamiltonit është fakti se ajo tregon bazat e një strukture tepër te thellë të mekanikës klasike.
Rreshti 153:
== Përgjithësimi në mekanikën kuantike nëpërmjet parantezave të Puasonit ==
 
Ekuacioni i më lartëm i Hamiltonit është i vlefshëm në [[mekanika klasike|mekanikën klasike]], por jo për [[mekanika kuantike|mekanikën kuantike]], sepse ekuacionet diferenciale që diskutuam më lart marrin parasysh që ne kemi mundësinë të kemi njohuri të plotë mbi pozicionin dhe momentinvrullit (impulsin) e thërrmijës për çdo moment në kohë. Megjithatë, ekuacionet mund të përgjithësohen edhe më tej, si për shembull në mekanikën kuantike ose edhe në mekanikën klasike duke shfrytëzuar transformimet nëpërmjet [[Algjebra e Puasonit|algjebrës së Puasonit]] mbi ''p'' dhe ''q'', deri te algjebra e [[Parantezat e Mojalit|parantezave te Mojalit]].
 
Në këtë rast, forma më e përgjithshme e ekuacioneve të Hamiltonit është
Rreshti 225:
Ku '''e''' është [[ngarkesa elektrike]] e thërrmijës (mund të mos jetë e njëjtë me ngarkesën e elektronit), <math>\phi</math> është [[Potenciali elektrik|potenciali skalar elektrik]], dhe <math>A_i</math> janë komponentët e [[Potenciali vektorial magnetik|potencialit vektorial magnetik]] (këto mund të modifikohen nëpërmjet një teknikë që njihet si [[Fiksimi i madhësive|transformimi i madhësive]]).
 
MomentiVrulli i përgjithshëm mund të derivohet nga :
 
: <math> p_j = \frac{\partial L}{ \partial \dot{x}_j} = m \dot{x}_j + e A_j. </math>
Rreshti 233:
: <math> \dot{x}_j = \frac{ p_j - e A_j }{m}. </math>
 
Nëqoftëse zëvendësojmë përcaktimin e momentitvrullit (impulsit), dhe shprehim shpejtësitë nëpërmjet momentitimpulsit, në përcaktimin e funksionit Hamiltonian të dhënë më lart, pas thjeshtësimeve dhe manipulimeve të thjeshta kemi :
 
: <math> \mathcal{H} = \sum_i \dot{x}_i p_i - \mathcal{L} = \sum_i \frac{ (p_i - e A_i)^2 } {2 m } + e \phi. </math>
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Mekanika_e_Hamiltonit"