Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit: Dallime mes rishikimesh

[Redaktim i kontrolluar][redaktim i pashqyrtuar]
Content deleted Content added
Rreshti 33:
:<math>\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_i} = 0
\quad \text{for } i = 1, \dots, n.</math>
 
 
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler-Lagranzhit
|-
|
Derivimi i ekuacionit një dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në [[Analiza matematike|matematikë]]. Ai mbështetet tek [[lema themelore e analizës së variacionit]].
 
Duam të gjejmë një funksion <math>f</math> i cili kënaq konditat kufitare <math>f(a) = A</math>, <math>f(b) = B</math>, si dhe minimizon koston (vlerën) e funskionalit
 
: <math> J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!</math>
 
Hedhim hipotezën se <math>F</math> ka derivate pjesore të para të vazhdueshme. Një hipotezë më e dobët mund të përdort por atëhere prova bëhet më e vështire.
 
Nqs <math>f</math> extremizon koston e funksionalit sipas konditave kufitare, atëhere cdo perturbim i <math>f</math> që ruan vlerat kufitare duhet ose të rritë vlerën e <math>J</math> (nqs <math>f</math> është një minimizues) ose të zvogëlojë <math>J</math> (nqs <math>f</math> është një maksimizues).
 
Le <math>g_{\epsilon} (x) = f (x) + \epsilon \eta (x)</math> të jetë një perturbim i <math>f</math>, ku <math>\eta (x)</math> është një funksion i diferencueshëm që kënaq barazimin <math>\eta (a) = \eta (b) = 0</math>. Atëhere përcaktojmë
 
: <math> J_\varepsilon(x) = \int_a^b F(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!</math>
 
Tani llogaritim [[derivatin e plotë]] të ''J'' në lidhje me ''ε'' ose [[variacionin e parë]] të ''J''.
 
: <math> \frac{\mathrm{d} J_\varepsilon}{\mathrm{d} \varepsilon} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\varepsilon}\int_a^b F(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx </math>
 
Nga derivati i plotë dell se
 
: <math> \frac{\mathrm d}{\mathrm d\varepsilon} = \frac{\partial}{\partial \varepsilon} + \sum_i \frac{\mathrm d g_i}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial}{\partial g_i} </math>
 
:<math>
\frac{\mathrm d F}{\mathrm d\varepsilon}=\frac{\mathrm d x}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\mathrm d g_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F}{\partial g_\epsilon}+\frac{\mathrm d g'_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F}{\partial g'_\epsilon}
</math>
: <math>\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}. </math>
 
Pra
 
: <math> \frac{\mathrm{d} J_\varepsilon}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. </math>
 
Kur ''ε'' = 0 we have ''g''<sub>''ε''</sub> = ''f'' dhe meqënëse ''f'' është një vlerë ekstremumi del që <math>\frac{\mathrm d J_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}(0) = 0</math>, i.e.
 
: <math> \frac{\mathrm d J_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.</math>
 
Hapi tjetër është përdorimi i [[Integrimi me pjesë|integrimit me pjesë]] tek termi i dytë i cili jep
 
: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. </math>
 
Duke përdorur konditat kufitare në ''η'', marrim
 
: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!</math>
 
Duke zbatuar [[lemën themelore të analizës së variacionit]] marrim ekuacionin e Ojler–Lagranzhit
 
: <math> 0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}. </math>
|}
 
== Shembuj ==