Wikipedia

Ekuacioni i shkallës së katërt: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
(View all pending changes)
[redaktim i pashqyrtuar][redaktim i pashqyrtuar]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
v roboti shtoj: io:Quartiko
v roboti shtoj: nap:Equazione quartica; cosmetic changes
Rreshti 1:
[[ImageSkeda:Polynomialdeg4.png|thumb|right|233px|Grafiku i polinomit të shkallës së katërt, me tre pika kritike.]]
Funksioni i trajtës
 
:<math>f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \,</math>
 
Ku ''a'' është e ndryshme nga 0 me fjalë tjera polinomi i shkallës së katërt nëse barazohet me 0 atëherë fitohet [[ekuacioni]] i shkallës së katërt
 
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,</math>
ku ''a''&nbsp;&ne;≠&nbsp;0.
 
== Histori ==
 
Ekuacionet e shkallës së katërt për herë të parë janë shqyrtuar në Indi. Italiani [[Lodovico Ferrari]] për herë të parë i dha zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së katërt në vitin 1540, por pasi kjo zgjidhje kërkon që më parë të dihet zgjidhja e ekuacionit të shkallës së tretë të cilin e gjeti mentori i tij [[Gerolamo Cardano]] këto zgjidhje u botuan më vonë së bashku, në librin ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]]'' në vitin ([[1545]]).
 
Kjo është shkalla më e lartë (pra shkalla e katërt) e një polinomi me koeficient real i cili është i zgjidhshëm në radikale, pra me formula të cilat përdorin funksione elementare matematikore, këtë fakt e vërtetuan Abel-Ruffini në vitin [[1824]].
 
== Zgjidhja e ekuacionit ==
 
Le të jetë dhënë ekuacioni
Rreshti 24:
atëherë <math>Q(0) = 0\,</math>,
kështtuqë zero është një rrënjë.
Për gjetjen e rrënjëve tjera, ne pjesëtojmë me <math>x\,</math>
dhe pastaj e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë,
:<math>a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1=0.\,</math>
 
është e qartë se rrënjët e tij janë 1, &minus;1−1 dhe &minus;−''k''
 
nëse <math>a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0,\,</math>
Rreshti 43:
dhe fitojmë
:<math>Q(x) = (x - 1)p(x),\,</math>
ku <math>p(x)\,</math> është polinom i shkallës së tretë, i cili mund të zgjidhet.
Ngjashëm nëse <math>-1\,</math> është rrënjë,
:<math>Q(x) = (x + 1)p(x),\,</math>
Rreshti 49:
 
Nëse <math>a_2 = 0, a_3 = ka_4, a_0 = ka_1,\,</math>
atëherë &minus;−''k'' është rrënjë atëherë e faktorizojmë <math>x+k\,</math>,
:<math>
\begin{align}
Rreshti 73:
\end{align}
</math>
Përr të gjetur rrënjët tjera të ''Q'' ne e zgjidhim barazimin kuadratik.
 
Ekuacioni bikuadratik
Rreshti 84:
 
Le të jetë <math>z=x^2.\,</math>
atëherë ''Q'' bëhet kuadratik sipas <math>z,\,</math>
:<math>
q(z) = a_4z^2+a_2z+a_0.\,\!
</math>
Le të jetë <math>z_+\,</math> dhe <math>z_-\,</math> rrënjët e ''q''.
atëherë rrënjët e ''Q'' janë
:<math>
\begin{align}
Rreshti 117:
Le të jetë
:<math> A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0 \qquad\qquad(1')</math>
forma e përgjithshme i ndajmë të dy anët e tij me ''A'',
:<math> x^4 + {B \over A} x^3 + {C \over A} x^2 + {D \over A} x + {E \over A} = 0. </math>
 
Në fillim e eliminojmë termin ''x''<sup>3</sup>. e ndryshojmë variablën nga ''x'' në ''u'', ashtuqë
:<math> x = u - {B \over 4 A} </math>.
atëherë
Rreshti 130:
+ {C \over A}
\left( u^2 - {u B \over 2 A} + {B^2 \over 16 A^2} \right) + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. </math>
dhe i grupojmë antarët pranë fuqive të njejta të ''u'' dhe fitojmë se
:<math> u^4 + \left( {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} \right) u^2 + \left( {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} \right) u + \left( {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A} \right) = 0. </math>
 
Tani i riemërojmë koeficientet e ''u''. Le të jetë
:<math>\begin{align}
\alpha & = {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} ,\\
Rreshti 143:
i cili quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së katërt.
 
Nëse <math>\beta=0 \ </math> atëherë kemi ekuacion bikuadratik i cili u shqyrtua më sipër.
 
Nëse <math>\gamma=0 \ </math> atëherë njëra nga rrënjët është <math>u=0 \ </math> dhe rrënjët tjera gjindet kur ekuacionin e pjestojmë me <math>u</math>, dhe e zgjidhim ekuacionin që fitohet pas këtij pjestimi i cili është i shkallës së tretë
:<math> u^3 + \alpha u + \beta = 0 \,.</math>
 
nëse kthehemi te variablat e vjetra ne i gjejmë zgjidhjet sipas <math>x</math>.
 
=== Zgjidhja sipas Ferrarit ===
 
[[Kategoria:Matematikë]]
Rreshti 169:
[[ko:사차 방정식]]
[[lo:ຕຳລາຂັ້ນສີ່]]
[[nap:Equazione quartica]]
[[nl:Vierdegraadsvergelijking]]
[[pl:Równanie czwartego stopnia]]
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Ekuacioni_i_shkallës_së_katërt"