Teorema e kosinusit

Teorema e kosinusit përdoret për gjetjen e brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit të çfarëdoshëm. Ajo është përgjithësim i teoremës së famshme të Pitagorës e cila vlen për trekëndëshin këndrejt. Teorema njihet edhe me emrin "Teorema e Al-Kashit" dhe me fjalë ajo mund të formulohet si vijon:

Brinjët dhe këndet e një trekëndëshi të çfarëdoshëm

Te çdo trekëndësh katrori i çdo brinje është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve tjera i zvogëluar për dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit përballë asaj brinje.

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

Teorema është përgithësim i teoremës së Pitagorës e cila vlen nëse trekëndëshi ka një kënd të drejtë nëse supozojmë se p.sh. këndi γ është i drejtë 90°= π/2 radian atëherë cos(γ) = 0, prandaj

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

Ky barazim paraqet teoremën e Pitagorës.

Zbatimi

Teorema përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit

• Në rast se janë dhënë tre brinjët e tij për gjetjen e këndeve

$\,\gamma =\cos ^{-1}{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,;$

• Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi në mes tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

$\,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}}\,;$

• Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi përballë njërës prej tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

$\,a=b\cos(\gamma )\pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}(\gamma )}}\,.$

Formulat nuk paraqiten teresisht ne kete forme

Vërtetimi i teoremës

Lëshojmë lartësinë mbi brinjën c atëherë nga figura kemi

$c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.$

Nëse të njejtën gjë e përsërisim për lartësitë tjera atëherë kemi

$b=c\cos(\alpha )+a\cos(\gamma )\,.$

$c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.$

Barazimin e parë e shumëzojmë me c të dytin me b dhe të tretin me a atëherë fitojmë

$c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.$

$a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,$

$b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.$

I mbledhim dy barazimet e fundit atëherë kemi

$a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,$.

Prej këtij barazimi e zbresim të parin atëherë fitojmë

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos(\beta )-bc\cos(\alpha )+ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,$

nga barazimi i fundit pas thjeshtimeve të mundshme fitojmë se

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,$