Njësia imagjinare

Njësia imagjinare ose numri imagjinar njësi ( i ) është një zgjidhje e ekuacionit kuadratik $x^{2}+1=0$ . Megjithëse nuk ka një numër real me këtë veti, i mund të përdoret për të zgjeruar numrat realë në ato që quhen numra kompleksë, duke përdorur mbledhjen dhe shumëzimin . Një shembull i thjeshtë i përdorimit të $i$ në një numër kompleks është $2+3i$ .

$i$ në rrafshin kompleks ose kartezian . Numrat realë shtrihen në boshtin horizontal, dhe numrat imagjinarë shtrihen në boshtin vertikal.

Numrat imagjinarë janë një koncept i rëndësishëm matematikor; ata zgjerojnë sistemin e numrave realë $\mathbb {R}$ në sistemin kompleks të numrave $\mathbb {C}$, në të cilën ekziston të paktën një rrënjë për çdo polinom jokonstant. Këtu, termi "imagjinar" përdoret sepse nuk ka numër real që ka një numër në katror negativ.

Ekzistojnë dy rrënjë katrore komplekse të −1: $i$ dhe $-i$, ashtu siç ka dy rrënjë katrore komplekse të çdo numri real përveç zeros (i cili ka një rrënjë katrore të dyfishtë ).

E ç'është njësia imagjinare?

Fuqitë e i kthejnë vlerat ciklike:
$...$ (përsërit modelin nga zona blu)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}=1$
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$...$ (përsërit modelin nga zona blu)

Numri imagjinar i përcaktohet vetëm nga vetia që katrori i tij është −1:

$$i^{2}=-1.$$

Nëse njësia imagjinare përcaktohet në këtë mënyrë, rrjedh drejtpërdrejt nga algjebra se i dhe $-i$ janë të dyja rrënjët katrore të −1.

Megjithëse ndërtimi quhet "imagjinar" dhe megjithëse koncepti i një numri imagjinar mund të jetë intuitivisht më i vështirë për t'u kuptuar se ai i një numri real, ndërtimi është i vlefshëm nga pikëpamja matematikore. Veprimet me numra realë mund të shtrihen në numra imagjinarë dhe kompleksë, duke e trajtuar $i$ si një madhësi të panjohur gjatë manipulimit të një shprehjeje (dhe duke përdorur përkufizimin për të zëvendësuar çdo dukuri të $i^{2}$ me -1). Fuqitë më të larta integrale i mund të zëvendësohen gjithashtu me $-i$, 1, i, ose −1:

$$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$$

$$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$$

Matricat

Disa njësi imagjinare korrespondojnë me pikat ( x, y ) në hiperbolën xy = −1 .

Duke përdorur konceptet e matricave dhe shumëzimit matricor, njësitë imagjinare mund të paraqiten në algjebër lineare. Vlera e 1 përfaqësohet nga një matricë identiteti $I$ dhe vlera e $i$ përfaqësohet nga çdo matricë $J$ që kënaq $J^{2}=-I$. Një zgjedhje tipike është

$$I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$$

Në përgjithësi, një matricë J me vlerë reale 2 × 2 plotëson $J^{2}=-I$ nëse dhe vetëm nëse J ka një gjurmë matrice zero dhe një përcaktor të matricës = 1, kështu që J mund të zgjidhet të jetë

$$J={\begin{pmatrix}z&x\\y&-z\end{pmatrix}}\,,$$

sa herë që $-z^{2}-xy=1$ . Prodhimi xy është negativ sepse $xy=-(1+z^{2})$ ; Kështu, pikat $(x,y)$ shtrihen në hiperbola të përcaktuara nga z në kuadrantet II ose IV.

Vetitë

Rrënjët katrore

Dy rrënjët katrore të $i$ në rrafshin kompleks

Tre rrënjët kubike të i në rrafshin kompleks

Ashtu si të gjithë numrat kompleksë jozero, $i$ ka dy rrënjë katrore: ato janë

$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Rrënjët kubike

Tre rrënjët kubike të $i$-së janë:

$-i,$

${\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},$ dhe

$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}.$

$i^{i}$

Duke përdorur formulën e Euler-it, $i^{i}$ ka pafundësisht shumë vlera

$i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}\,,$

për çdo numër të plotë k . Një vlerë e përbashkët kryesore korrespondon me $k=0$ dhe jep $i^{i}=e^{-\pi /2}$, që është 0.207879 576 ... .

Faktoriali

Faktoriali i njësisë imagjinare $i$ jepet më shpesh në terma të funksionit gama të vlerësuar në $1+i$ :

$i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498015668-0.154949828i.$

Madhësia e këtij numri është

$|\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}=0.521564046\ldots ,$

ndërsa argumenti i saj është

$\arg {\Gamma (1+i)}=\lim _{n\to \infty }{\biggl (}\ln {n}-\sum _{k=1}^{n}\operatorname {arccot} {k}{\biggr )}\approx -0.301640320.$