Shpërndarja eksponenciale

 

Eksponencial

Probability density function
Cumulative distribution function
Parametrat	$\lambda >0,$ shkalla, ose shkalla e anasjelltë
Mbështetës	$x\in [0,\infty )$
FDGJ	$\lambda e^{-\lambda x}$
FGSH	$1-e^{-\lambda x}$
Kuantili	$-{\frac {\ln(1-p)}{\lambda }}$
Vlera e pritur	${\frac {1}{\lambda }}$
Mediana	${\frac {\ln 2}{\lambda }}$
Moda	$0$
Varianca	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Shtrirja	$2$
Kurtoza e tepërt	$6$
Entropia	$1-\ln \lambda$
FGJM	${\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ për }}t<\lambda$
FK	${\frac {\lambda }{\lambda -it}}$
Informacione për Fisher	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Divergjenca Kullback-Leibler	$\ln {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1$

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja eksponenciale ose shpërndarja eksponenciale negative është shpërndarja e probabilitetit të kohës ndërmjet ngjarjeve në një proces pikësor Poisson, dmth, një proces në të cilin ngjarjet ndodhin vazhdimisht dhe në mënyrë të pavarur me një normë mesatare konstante. Është një rast i veçantë i shpërndarjes gama . Ai është analogu i vazhdueshëm i shpërndarjes gjeometrike dhe ka vetinë kryesore të të qenit pa memorie . Përveç përdorimit për analizën e proceseve pikësore Poisson, ai haset në kontekste të tjera të ndryshme.

Shpërndarja eksponenciale nuk është e njëjtë me klasën e familjeve eksponenciale të shpërndarjeve. Kjo është një klasë e madhe shpërndarjesh probabiliteti që përfshin shpërndarjen eksponenciale si një nga anëtarët e saj, por gjithashtu përfshin shumë shpërndarje të tjera, si shpërndarjet normale, binomiale, gama dhe Poisson .

Përkufizimet

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) i një shpërndarjeje eksponenciale është

$f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

Këtu λ > 0 është parametri i shpërndarjes, i quajtur shpesh parametri i shkallës . Shpërndarja është e përcaktuar në intervalin $[0,\infty )$ . Nëse një ndryshore e rastit $X$ ka këtë shpërndarje shkruajmë $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ .

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse

Funksioni i mbledhës i shpërndarjes jepet nga

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

Parametrizimi alternativ

Shpërndarja eksponenciale nganjëherë parametrizohet në termat e parametrit të shkallës $\beta =1/\lambda$ që është edhe mesatarja:

$$f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$$

Vetitë

Mesatarja, varianca, momentet dhe mesorja

Mesatarja është qendra e masës së probabilitetit, domethënë momenti i parë .

Mesorja është paraimazhi F ⁻¹ (1/2).

Vlera mesatare ose pritja matematike e një ndryshoreje rasti $X$ të shpërndarë në mënyrë eksponenciale me parametrin e shpejtësisë $\lambda$ jepet nga

$$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.$$

Në dritën e shembujve të dhënë më poshtë, kjo ka kuptim: nëse merrni telefonata me një normë mesatare prej 2 ndodhish në orë, atëherë mund të prisni që të prisni gjysmë ore për çdo telefonatë.

Varianca e $X$ jepet nga

$$\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},$$

pra shmangia standarde është e barabartë me mesataren.

Momentet e $X$, për $n\in \mathbb {N}$ jepen nga

$$\operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.$$

Momentet qendrore të $X$, për $n\in \mathbb {N}$ jepen nga

$$\mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$$

ku $!n$ është nënfaktoriali i $n$.Mesorja e $X$ jepet nga

$$\operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],$$

ku $\ln$ i referohet logaritmit natyror. Kështu ndryshimi absolut midis mesatares dhe mesores është

$$\left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],$$

Vetia pa memorie e ndryshores së rastit eksponenciale

Një ndryshore e rastit $T$ e shpërndarë në mënyrë eksponenciale i bindet relacionit

$$\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.$$

Kjo mund të shihet duke marrë parasysh funksionin e shpërndarjes mbledhëse plotëse :

$${\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}$$

Kur $T$ interpretohet si koha e pritjes që një ngjarje të ndodhë në lidhje me një kohë fillestare, kjo lidhje nënkupton që, nëse $T$ kushtëzohet nga dështimi për të vëzhguar ngjarjen gjatë një periudhe fillestare kohore s, shpërndarja e kohës së mbetur të pritjes është e njëjtë me shpërndarjen origjinale të pakushtëzuar. Për shembull, nëse një ngjarje nuk ka ndodhur pas 30 sekondash, probabiliteti i kushtëzuar që ndodhia do të marrë të paktën 10 sekonda më shumë është i barabartë me probabilitetin e pakushtëzuar të vëzhgimit të ngjarjes më shumë se 10 sekonda pas kohës fillestare.

Shpërndarja eksponenciale dhe shpërndarja gjeometrike janë të vetmet shpërndarje të probabilitetit pa kujtesë .

Kuantilet

Funksioni kuantile (funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë) për ${\text{Exp}}(\lambda )$ është

$$F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1$$

Prandaj, kuartilet janë:

• kuartili i parë: $\ln(4/3)/\lambda$
• mesorja : $\ln(2)/\lambda$
• kuartili i tretë: $\ln(4)/\lambda$

Vlera e kushtëzuar në rrezik (mungesë e pritshme)

Vlera e kushtëzuar në rrezik (CVaR) e njohur gjithashtu si mungesa e pritshme ose superkuantili për ${\text{Exp}}(\lambda )$ rrjedh si më poshtë:

$${\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}$$

Divergjenca Kullback–Leibler

Divergjenca e drejtuar Kullback–Leibler në nats të $e^{\lambda }$ (shpërndarja "përafërt") nga $e^{\lambda _{0}}$ (shpërndarja 'e vërtetë') jepet nga

$${\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}$$

Shuma e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit (FSHP) i një shume të dy ndryshoreve të rastit të pavarura është ndërthurja e FSHP-ve të secilës . Nëse $X_{1}$ dhe $X_{2}$ janë ndryshore rasti eksponenciale të pavarura me parametra të shkallës përkatësisht $\lambda _{1}$ dhe $\lambda _{2},$ atëherë dendësia e probabilitetit të $Z=X_{1}+X_{2}$ jepet nga

$${\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}$$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X$ ~ Laplace(μ, β⁻¹), atëherë $|X-\mu |\sim \operatorname {Exp} (\beta )$.
• Nëse $X$~ Pareto(1, λ), atëherë $\log(X)\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$.
• Nëse $X$ ~ SkewLogistic(θ), atëherë $\log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )$.
• Nëse $X_{i}\sim U(0,1)$ atëherë
  $$\lim _{n\to \infty }n\min \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\sim \operatorname {Exp} (1)$$
• Shpërndarja eksponenciale është një limit i asaj beta:
  $$\lim _{n\to \infty }n\operatorname {Beta} (1,n)=\operatorname {Exp} (1).$$
• Nëse $X\sim {\text{Exp}}(\lambda )$ dhe $X_{i}\sim {\text{Exp}}(\lambda _{i})$ atëherë:
  • $kX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{k}}\right)$, mbyllja nën shkallëzimin me faktor konstant.
  • $ke^{X}$ $\sim$ Pareto$(k,\lambda )$.
  • $e^{-X}$ $\sim$ $\operatorname {Beta} (\lambda ,1)$.
  • $e^{X}$ ~ PowerLaw$(k,\lambda )$
  • ${\sqrt {X}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)$, shpërndarja Rayleigh
  • $X\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)$, shpërndarja Weibull
  • $X^{2}\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda ^{2}}},{\frac {1}{2}}\right)$
  • $\mu -\beta \log(\lambda X)\sim {\text{Gumbel}}(\mu ,\beta )$.
  • $\lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)$, shpërndarje gjeometrike në 0,1,2,3,...
  • $\lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)$, shpërndarje gjeometrike në 1,2,3,4,...
  • Nëse $Y\sim {\text{Erlang}}(n,\lambda )$ ose $Y\sim \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)$ atëherë ${\frac {X}{Y}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)$
  • $\lambda _{1}X_{1}-\lambda _{2}Y_{2}\sim$ ~ Laplas(0, 1).
  • Nëse gjithashtu $\lambda _{i}=\lambda$ atëherë:
    • $X_{1}+\cdots +X_{k}=\sum _{i}X_{i}\sim$ $\operatorname {Erlang} (k,\lambda )$ = $\operatorname {Gamma} (k,\lambda ^{-1})$ = $\operatorname {Gamma} (k,\lambda )$ .
    • Nëse $T=(X_{1}+\cdots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$, atëherë $2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}$.
    • $X_{i}-X_{j}\sim$ $\operatorname {Laplace} (0,\lambda ^{-1})$.
  • Nëse gjithashtu $X_{i}$ janë të pavarura, atëherë:
    • ${\frac {X_{i}}{X_{i}+X_{j}}}\sim \operatorname {U} (0,1)$
    • $Z={\frac {\lambda _{i}X_{i}}{\lambda _{j}X_{j}}}$ ka fdp $f_{Z}(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}}}$.
  • Nëse gjithashtu λ = 1:
    • $\mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$, shpërndarja logjistike
    • $\mu -\beta \log \left({\frac {X_{i}}{X_{j}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$
    • Më tej , nëse $Y\sim \Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)$ atëherë ${\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )$ (shpërndarja K)
  • Nëse gjithashtu $\lambda =1/2$ atëherë $X\sim \chi _{2}^{2}$; i.e., $X$ ka një shpërndarje hi katror with 2 shkallë lirie. Kështu:
    $$\operatorname {Exp} (\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2}^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exp} (\lambda )\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2n}^{2}$$
• Nëse $X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\lambda }}\right)$ dhe $Y\mid X$ ~ Poisson(X) atëherë $Y\sim \operatorname {Geometric} \left({\frac {1}{1+\lambda }}\right)$ (shpërndarja gjeometrike)

Konkluzioni statistikor

Më poshtë, supozoni se ndryshorja e rastit $X$ shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shpejtësisë $\lambda$, dhe $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ janë $n$ mostra të pavarura nga $X$, me mesataren e mostrës ${\bar {x}}$ .

Vlerësimi i parametrave

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale për $\lambda$ është ndërtuar si më poshtë.

Funksioni i përgjasisë për $\lambda$, duke pasur parasysh një popullim të pavarur dhe të shpërndarë në mënyrë identike $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ të nxjerrë nga ndryshorja, është:

$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right),$$

ku:

$${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$$

është mesatarja e kampionit.

Derivati i logaritmit të funksionit të përgjasisë është:

$${\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}$$

Rrjedhimisht, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për parametrin e normës është:

$${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}={\frac {1}{\overline {x}}}={\frac {n}{\sum _{i}x_{i}}}$$

Ky nuk është një vlerësues i paanshëm i $\lambda ,$ edhe pse ${\overline {x}}$ is një vlerësues i paanshëm VPM i $1/\lambda$ dhe mesatarja e shpërndarjes.

Zhvendosja e ${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}$ është e barabartë me

$$B\equiv \operatorname {E} \left[\left({\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-\lambda \right)\right]={\frac {\lambda }{n-1}}$$

e cila jep vlerësuesin e përgjasisë maksimale të korrigjuar për zhvendosjen

$${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}^{*}={\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-B.$$

Informacioni i Fisherit

Informacioni Fisher, shënohet ${\mathcal {I}}(\lambda )$, për një vlerësues të parametrit të normës $\lambda$ jepet si:

$${\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx$$

Futja në shpërndarje dhe zgjidhja jep:

$${\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.$$

Kjo përcakton sasinë e informacionit që çdo mostër e pavarur e një shpërndarjeje eksponenciale mbart për parametrin e panjohur të shkallës $\lambda$ .

Ndodhja dhe aplikimet

Ndodhja e ngjarjeve

Shpërndarja eksponenciale ndodh natyrshëm kur përshkruhen gjatësitë e kohërave ndërmjet mbërritjes në një proces homogjen Poisson .

Ndryshoret eksponenciale mund të përdoren gjithashtu për të modeluar situata ku ndodhin ngjarje të caktuara me një probabilitet konstant për njësi gjatësie, siç është largësia midis mutacioneve në një varg të ADN-së, ose midis goditjeve në rrugë në një rrugë të caktuar.

Në fizikë, nëse vëzhgoni një gaz në një temperaturë dhe shtypje fikse në një fushë gravitacionale të njëtrajtshme, lartësitë e molekulave të ndryshme ndjekin gjithashtu një shpërndarje të përafërt eksponenciale, të njohur si formula barometrike . Kjo është pasojë e vetive të entropisë të përmendura më poshtë.