Njeri nder lemenjt me te rendesishem te analizes matematike, i cili gjen zbatime te ndryshme ne zgjidhjen e problemeve qe para nesh shtrojne shkenca dhe teknika, pa dyshim eshte njehsimi integral. Integrali i pacaktuar eshte nje veprim i anasjellte me veprimin e derivimit dhe te diferencimit te funksionit nderkaq, integrali i caktuar eshte nje mjet i rendesishem per njehsimin e syprinave te siperfaqeve vijeperkulta dhe vellimeve te trupave.
Integrimi eshte thjesht proces i gjetjes se te gjitha funksioneve primitive te nje funksioni f. Andaj vlen ky perkufizim:
Integral i pacaktuar i funksionit f quhet bashkesia e te gjitha funksioneve primitive te funksionit f dhe shenohet me :
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}
.
Ne kete rast shenja
∫
{\displaystyle \int }
njihet si shenja e integralit, f quhet funksioni nen integral, kurse f(x)dx quhet shprehja nen integral.
Integrali i Pacaktuar
Redakto
Integralet thame jane te rendesishme sepse me to mund te llogaritim syprina te siperfaqeve dhe vellime. Andaj ne kete rast theksohet integrali i caktuar i cili njihet si Teorema Fundamentale e Analizes dhe matematikisht shprehet si:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}
Ne kete rast a dhe b jane kufinjte e integrimit.
Funksionet e integrueshme
Redakto
Nder pyetjet me te rendesishme ne lidhje me integralet eshte se cilat funksione jane te integrueshme e cilat jo. Ne kete pyetje mund te pergjigjemi vetem nese bazohemi ne teorema te nxjerra ne lidhje me integralet. Jane shume funksione integralet e te cilave egzistojne por nuk mund te shprehen ne formen e tyre te fundme. DIsa shembuj te tyre jane:
∫
e
−
x
2
d
x
,
∫
sin
(
x
2
)
d
x
,
∫
sin
(
x
)
x
d
x
,
∫
1
ln
x
d
x
,
∫
x
x
d
x
.
{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int \sin(x^{2})\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int x^{x}\,\mathrm {d} x.}
Jane te njohura dy metoda te integrimit: Metoda e zevendesimit dhe Metoda integrimit te parcial .
Metoda e Zevendesimit
Redakto
Le te jete f funksion i integrueshem ne intervalin (a,b) dhe
ϕ
{\displaystyle \phi }
:(a,b) funksion qe ka derivat te vazhdueshem ne (a,b). Atehere vlen:
∫
ϕ
(
a
)
ϕ
(
b
)
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
ϕ
(
t
)
)
ϕ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\phi '(t)\,dt.}
Integrimi Parcial
Redakto
Le te jene u dhe v dy funksione te ndryshores x te derivueshme. Pra u=u(x) dhe v=v(x). Andaj kemi:
∫
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
u
(
x
)
v
(
x
)
−
∫
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}
Apo ne menyre me kompakte kemi:
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
.
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!}
Integrale te drejtperdrejta
Redakto
Disa prej integraleve te drejperdrejta jane:
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}
∫
k
d
x
=
k
x
+
C
{\displaystyle \int k\,dx=kx+C}
∫
x
a
d
x
=
x
a
+
1
a
+
1
+
C
(for
a
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text{)}}\,\!}
∫
(
a
x
+
b
)
n
d
x
=
(
a
x
+
b
)
n
+
1
a
(
n
+
1
)
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}\,\!}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}
∫
1
x
d
x
=
{
ln
|
x
|
+
C
−
x
<
0
ln
|
x
|
+
C
+
x
>
0
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}
∫
c
a
x
+
b
d
x
=
c
a
ln
|
a
x
+
b
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}
Funksione Eksponenciale
Redakto
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
d
x
=
e
f
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}
Funksione Trigonometrike
Redakto
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)
Matematika 12 - Analize me teori te gjases.