Ekuacioni diferencial homogjen

Një ekuacion diferencial mund të jetë homogjen në secilin nga dy aspektet.

Një ekuacion diferencial i rendit të parë thuhet se është homogjen nëse mund të shkruhet

$f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,$

ku $f$ dhe $g$ janë funksione homogjene të së njëjtës shkallë $x$ dhe $y$ . Në këtë rast, ndryshimi i ndryshores $y=ux$ çon në një ekuacion të formës

${\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,$

që zgjidhet lehtë me integrimin e dy anëve.

Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë

  Një ekuacion diferencial i zakonshëm i rendit të parë në formën:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$

është një tip homogjen nëse të dy funksionet $M(x,y)$ dhe $N(x,y)$ janë funksione homogjene të së njëjtës shkallë $n$ . Kjo do të thotë, duke shumëzuar çdo ndryshore me një parametër $\lambda$, gjejmë

$M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{dhe}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.$

Kështu,

${\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.$