Faktoriali

Faktorieli i numrit natyral n është funksion me të cilin paraqitet prodhimi i numrave natyral duke filluar nga 1 deri te numri i caktuar n. Ky prodhim shënohet me simbolin n!. Ky funksion paraqitet shumë shpesh në kombinatorikë.

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
20	2.432.902.176.640.000
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000
50	3,04140932... × 10⁶⁴
70	1,19785717... × 10¹⁰⁰
450	1,73336873... × 10^1.000
3.249	6,41233768... × 10^10.000
25.206	1,205703438... × 10^100.000
47.176	8,4485731495... × 10^200.001
100.000	2,8242294079... × 10^456.573
1.000.000	8,2639316883... × 10^5.565.708
9,99... × 10³⁰⁴	1 × 10^{3.045657055180967... × 10³⁰⁷}

Përkufizimi formal

Faktorieli përkufizohet me formulën

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!

si rrjedhim kemi se

0!=1\

Faktorieli në kombinatorikë mundëson shprehjen e thjeshtë të koeficientëve të binomit gjegjësisht numrit të kombinacioneve.

{n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}

.

Zbatim gjen edhe te Funksioni Gama, Seria e Taylorit etj.

Llogaritja e përafërt

Numri faktoriel me rritjen e n rritet shum shpejt kështu 70! në sistemin dhjetor mund të shkruhet me më shumë se 100 shifra. Për llogaritj më të shpejtë përdoret formula e Stirlingut.

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

ku:

\pi

përafërsisht 3,14

\ e

përafërsisht 2,71

Shih edhe

Lidhje të jashtme

Approximation formulas
All about factorial notation n!
The Dictionary of Large Numbers
"Factorial Factoids" nga Paula Niquette
Factorial Calculator: deri në 200.000!
"Factorial" od Ed Pegg, Jr. i Rob Morris, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Fast Factorial Functions (with source code in Java and C#)