Formula Cauchy për integrimin e përsëritur

Formula e Koshiut për integrimin e përsëritur, e quajtur sipas Augustin-Louis Cauchy, lejon që të ngjeshen n integrale të pacaktuara të një funksioni, në një integral të vetëm (krh. formulën e Cauchy-së ).

Rasti skalar

Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në vijën reale. Pastaj integrali i n- të i përsëritur i f me pikën bazë a, $$f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},$$ jepet me integrim të vetëm $$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

Prova

Një provë jepet me induksion . Rasti bazë me n=1 është i parëndësishëm, pasi është i njëvlershëm me:

$$f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$$ Tani, supozoni se kjo është e vërtetë për n, dhe le ta vërtetojmë atë për n +1. Së pari, duke përdorur rregullin integral të Lajbnicit, vini re se

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

Pastaj, duke zbatuar hipotezën e induksionit,

$${\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}\left[\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\\end{aligned}}$$

Vini re, termi brenda kllapës katrore ka n-herë integrim të njëpasnjëshëm dhe kufiri i sipërm i integralit më të jashtëm brenda kllapës katrore është $\sigma _{1}$ . Kështu, duke krahasuar me rastin për n=n, dhe duke zëvendësuar $x,\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}$ të formulës në hapin e induksionit n=n me $\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n+1}$ përkatësisht për të marrë

$${\begin{aligned}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}&={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\\\end{aligned}}$$

Vendosja e kësaj shprehje brenda kllapës katrore rezulton në

$${\begin{aligned}&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$$

• Është treguar se ky pohim është i vërtetë për rastin bazë $n=1$ .
• Nëse pohimi është i vërtetë për $n=k$, atëherë është treguar se pohimi është i vërtetë për $n=k+1$ .
• Kështu ky pohim është vërtetuar për të gjithë numrat e plotë pozitivë.

Kjo plotëson provën.

Përgjithësime dhe zbatime

Formula Cauchy përgjithësohet në parametra jo të plotë nga integrali Riemann-Liouville, ku $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ zëvendësohet nga $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0$, dhe faktoriali zëvendësohet nga funksioni gama . Dy formulat pajtohen kur $\alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ .

Të dy formula Cauchy dhe integrali Riemann-Liouville përgjithësohen në dimensione arbitrare nga potenciali Riesz .