Formula e Larmorit

Në fizike, në fushën e elektrodinamike, formula e Larmorit përdoret për llogaritjen e fuqisë së përgjithshme të rrezatuar nga një pikë ngarkese jorelativiste kur ajo përshpejtohet. Ekuacioni u derivua nga J. J. Larmor në 1897, në kontekstin e teorisë valore të dritës.

Një antenë Yagi-Uda. Radio valet rrezatohen nga një antenë kur në të elektronet përshpejtohen.

Çdo thërrmije e ngarkuar, kur përshpejtohet ose ngadalësohet (si për shembull një elektron) rrezaton energji në formën e valëve elektromagnetike. Për shpejtësitë që janë të të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, fuqia e përgjithshme e rrezatuar jepet nga formula e Larmorit :

$P={\frac {e^{2}a^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ (SI units)}}$

$P={2 \over 3}{\frac {e^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (cgs units)}}$

ku $a$ është nxitimi, $e$ është ngarkesa, dhe $c$ është shpejtësia e dritës. Një përgjithësim relativist jepet nga Potencialet Liénard-Wiechert.

Derivimi

Derivimi 1 : Fusha e një ngarkese në lëvizje

M87's Xhet Energjetik. Ndriçimi shkaktohet nga rrezatimi sinkrotron, elektrone të energjisë së lartë vine rrotull vijave të fushës magnetike, u zbulua për herë të parë në 1956 nga Geoffrey R. Burbidge në M87 duke konfirmuar parashikimin e Hannes Alfvén dhe Nicolai Herlofson në 1950, dhe Iosif S. Shklovskii në 1953.

Zgjidhja e potencialeve të vonuara

Në rastin kur nuk ka ndonjë kufi rreth ngarkesave, zgjidhja e vonuar për potencialet skalare dhe vektoriale (ne njësi cgs) të ekuacionit johomogjente valës janë (shikoni Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike)

$\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'$

dhe

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}d^{3}r'dt'$

ku

${\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)}$

është funksioni delta i Dirakut dhe ku korrenti dhe dendësia e ngarkesës janë

$\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=e\mathbf {v} _{0}(t')\delta \left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')\right)$

$\rho (\mathbf {r} ',t')=e\delta \left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')\right)$

për një thermije tek $\mathbf {r} _{0}(t')$ që udhëton me një shpejtësi $\mathbf {v} _{0}(t')$.

Fusha elektrike dhe magnetike

Potencialet skalare dhe vektoriale janë të lidhur me fushën elektrike dhe magnetike nga

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\partial \mathbf {A} \over \partial t}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$.

Fushat mund të shkruhen

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=e\left[{{\left(\mathbf {n} -{\mathbf {v} _{0} \over c}\right)\left(1-\beta ^{2}\right)} \over {\kappa ^{3}R^{2}}}\right]_{\mbox{ret}}+{e \over c}\left[{{\mathbf {n} \times \left(\mathbf {n} -{\mathbf {v} _{0} \over c}\right)\times {\mathbf {a} \over c}} \over {\kappa ^{3}R}}\right]_{\mbox{ret}}$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {n} \times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$

ku

$\mathbf {a}$ është nxitimi,

$\mathbf {n}$ është një vektor njësi në drejtimin e $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$,

$R$ është madhesia e $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$,

$\kappa \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 1-\mathbf {n} \cdot {\mathbf {v} _{0} \over c}$

$\beta ^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v_{0}^{2} \over c^{2}}$

dhe termat ne të djathte vlerësohen në një kohë të vonuar

$t'=t-{R \over c}$.

Termi i dyte, është proporcional me nxitimin, dhe paraqet një vale dritë sferike. Termi i parë bie me katrorin e distance dhe paraqet një valë që zvogëlohet në madhësi me distancën.

Derivimi 2 : Duke përdorur mënyrën e Edward M. Purcell

Derivimi i plotë mund të gjendet tek http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html

Shikoni gjithashtu

• Teoria atomike
• Rrezatimi i ciklotronit
• Ekuacioni i valës elektromagnetike
• Ekuacioni i valës

Referime

• J. Larmor, "Mbi një teori dinamike te mjedisit elektrike luminefer", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp.205-300
• John D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• Charles Misner; Kip S. Thorne; John Archibal dWheeler (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• R. P. Feynman; F. B. Moringo; W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)