Funksioni i Spensit

Në matematikë, funksioni i Spencit, ose dilogaritmi, i shënuar si $\operatorname {Li} _{2}(z)$, është një rast i veçantë i polilogaritmit. Dy funksione speciale të lidhura referohen si funksioni i Spensit, vetë dilogaritmi:

Dilogaritmi përgjatë boshtit real

$\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C}$

dhe reflektimi i tij. Për $|z|<1$, zbatohet gjithashtu një seri e pafundme (përkufizimi integral përbën shtrirjen e tij analitike në planin kompleks ):

$\operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.$

Përndryshe, funksioni i dilogaritmit nganjëherë përcaktohet si

$\int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).$

Në gjeometrinë hiperbolike, dilogaritmi mund të përdoret për të llogaritur vëllimin e një simpleksi ideal . Në mënyrë të veçantë, një simpleks, kulmet e të cilit kanë raport kryq $z$ ka vëllim hiperbolik

$D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.$

Në fizikën e grimcave

Funksioni i Spensit haset zakonisht në fizikën e grimcave gjatë llogaritjes së korrigjimeve rrezatuese. Në këtë kontekst, funksioni shpesh përcaktohet me një vlerë absolute brenda logaritmit:

$\operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}$