Funksioni integral logaritmik

Në matematikë, funksioni integral logaritmik ose logaritmi integral li( x ) është një funksion i veçantë . Është i rëndësishëm dhe u përket shumë problemeve të fizikës dhe ka rëndësi në teorinë e numrave . Në veçanti, sipas teoremës së numrave të thjeshtë, është një përafrim shumë i mirë me funksionin e numërimit të numrave të thjeshtë , i cili përcaktohet si sasia e numrave të thjeshtë më pak ose i barabartë me një vlerë të caktuar. $x$ .

Grafiku i funksionit integral logaritmik

Përfaqësimi integral

Integrali logaritmik ka një paraqitje në trajtë integrali për të gjithë numrat realë pozitivë x ≠ 1 të dhënë nga integrali i caktuar

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

Këtu, $\ln$ paraqet logaritmin natyror . Funksioni ${\frac {1}{\ln t}}$ ka një pol për $t=1$ dhe integrali për $x>1$ interpretohet si një vlerë kryesore Koshi ,

$\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).$

Integrali logaritmik i mënjanuar

Integrali logaritmik i mënjanuar ose integrali logaritmik Eulerian përkufizohet si

$\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).$

Si i tillë, përfaqësimi integral ka përparësinë e shmangies së polit në fushën e integrimit.

Përfaqësimi sipas serive

Funksioni li( x ) lidhet me integralin eksponencial Ei( x ) nëpërmjet ekuacionit

${\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!$

i cili vlen për x > 0. Ky identitet ofron një paraqitje serike të li( x ) të dhënë si:

$\operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,$

ku γ ≈ 0,57721 56649 01532 . . . OEIS : A001620 është konstantja e Euler-Maskeronit . Një seri konvergjente më e shpejtë nga Ramanujani është

$\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

Domethënia për teorinë e numrave

Integrali logaritmik është i rëndësishëm në teorinë e numrave, duke u paraqitur në vlerësimet e sasisë së numrave të thjeshtë më të vegjël se një vlerë e dhënë. Për shembull, teorema e numrave të thjeshtë thotë se:

$\pi (x)\sim \operatorname {li} (x)$

ku $\pi (x)$ tregon numrin e numrave të thjeshtë më të vegjël ose të barabartë me $x$ .

Duke supozuar hipotezën e Riemann-it, marrim një lidhje dhe më të fortë:

$\operatorname {li} (x)-\pi (x)=O({\sqrt {x}}\log x)$

Për vlera të vogla të $x$-it, $\operatorname {li} (x)>\pi (x)$ por ndryshesa kthen shenjë një numër i pafundëm herësh me rritjen e $x$-it, dhe hera e parë që ndodh është diku midis 10 ¹⁹ dhe 1.4×10 ³¹⁶ .