Hiperbola

Në matematikë, një hiperbolë është një lloj kurbë e lëmuar e shtrirë në një rrafsh, e përcaktuar nga vetitë e saj gjeometrike ose nga ekuacionet për të cilat është bashkësia e zgjidhjeve. Një hiperbolë ka dy pjesë, të quajtura përbërëse ose degë të lidhura, që janë imazhe pasqyrë të njëra-tjetrës dhe ngjajnë me dy harqe të pafundme. Hiperbola është një nga tre llojet e seksioneve konike, i formuar nga kryqëzimi i një plani dhe një koni të dyfishtë. (Pjeset e tjera konike janë parabola dhe elipsi . Një rreth është një rast i veçantë i një elipsi. ) Nëse rrafshi pret të dy gjysmat e konit të dyfishtë, por nuk kalon nga kulmi i konit të dyfishtë, atëherë konikja është një hiperbolë.

Një hiperbolë është një kurbë e hapur me dy degë, kryqëzimi i një rrafshi me të dy gjysmat e një koni të dyfishtë . Rrafshi nuk duhet të jetë medoemos paralel me boshtin e konit; hiperbola do të jetë simetrike në çdo rast.

Hiperbola (e kuqe): veçoritë

Përveç të qenit një seksion konik, një hiperbolë mund të lindë si vendndodhja e pikave ndryshesa e largësive mes tyre me dy vatra fikse është konstante, si një kurbë për secilën pikë të së cilës rrezet në dy vatra fikse janë reflektime përgjatë vijës tangjente në atë pikë. ose si zgjidhje e ekuacioneve të caktuara kuadratike dyndryshore siç është marrëdhënia reciproke $xy=1.$

Çdo degë e hiperbolës ka dy krahë të cilët bëhen më të drejtë (lakimi më i ulët) më larg nga qendra e hiperbolës. Krahët e kundërt diagonalisht, një nga secila degë, priren në kufirin e një vije të përbashkët, të quajtur asimptota e këtyre dy krahëve. Pra, ekzistojnë dy asimptota, kryqëzimi i të cilave është në qendër të simetrisë së hiperbolës, e cila mund të konsiderohet si pika e pasqyrës rreth së cilës çdo degë reflektohet për të formuar degën tjetër. Në rastin e kurbës $y(x)=1/x$ asimptotat janë dy boshtet koordinative .

Hiperbolat ndajnë shumë nga vetitë analitike të elipsave si ekscentriciteti, fokusi dhe drejtimi . Në mënyrë tipike, korrespondenca mund të bëhet me asgjë më shumë se një ndryshim i shenjës në një afat. Shumë objekte të tjera matematikore e kanë origjinën e tyre në hiperbolë, të tilla si paraboloidet hiperbolike (sipërfaqet e shalës), hiperboloidet ("shportat e mbeturinave"), gjeometria hiperbolike ( gjeometria e famshme jo-Euklidiane e Lobachevsky ), funksionet hiperbolike (sinh, cosh, tanh, etj. .), dhe hapësirat xhirovektoriale (një gjeometri e propozuar për përdorim si në relativitet ashtu edhe në mekanikën kuantike që nuk është Euklidiane ).

Përkufizimet

Si vendndodhja e pikave

Hiperbola: përcaktimi si largësia e pikave nga dy pika fikse (vatra)

Hiperbola: përkufizimi me vijën drejtuese rrethore

Një hiperbolë mund të përkufizohet gjeometrikisht si një grup pikash ( lokus pikash ) në rrafshin Euklidian:

 

Një hyperbolë është një bashkësi pikash e tillë që, për çdo pikë $P$ të bashkësisë, ndryshesa në vlerë absolute e largësive $PF_{1},PF_{2}$ të dy pikave fikse $F_{1},F_{2}$ ( vatra) është konstante, dhe zakonisht shkruhet si $2a,\,a>0$.

$H=\{P:||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a}\$

Pika e mesit $M$ e segmentit të vijës që bashkon vatrat quhet qendra e hiperbolës. Vija nëpër vatra quhet boshti kryesor . Ai përmban kulmet $V_{1},V_{2}$, të cilat kanë largësi $a$ nga qendra. Largësia $c$ e vatrave në qendër quhet largësi vatrore ose jashtëqëndërsi lineare . Herësi ${\tfrac {c}{a}}$ është jashtëqëndërsia $e$ .

Nga vetia e vijës drejtuese

Hiperbola: vetia e vijës drejtuese

Hiperbola: përkufizimi me vetinë e vijës drejtuese

Dy vijat në largësinë ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$ nga qendra dhe paralele me boshtin e vogël quhen drejtuese të hiperbolës (shih diagramin).

Për një pikë arbitrare $P$ e hiperbolës, herësi i largësisë nga një vatër dhe në drejtuesen përkuese (shih diagramin) është i barabartë me jashtëqëndërsinë:

$${\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.$$

Prova për çiftin $F_{1},l_{1}$ rrjedh nga fakti se $|PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}$ dhe $y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}$ plotësojnë ekuacionin

$$|PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .$$

Lapsi i konikeve me kulm të përbashkët dhe gjysmë latus rektum të përbashkët

Shpallja e anasjelltë është gjithashtu e vërtetë dhe mund të përdoret për të përcaktuar një hiperbolë (në një mënyrë të ngjashme me përkufizimin e një parabole):

Për çdo pikë $F$ (vatër), çdo linjë $l$ (drejtuese) jo përmes $F$ dhe çdo numër real $e$ me $e>1$ bashkësia e pikave, për të cilat herësi i largësive me pikën dhe drejtëzën është $e$

$$H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}$$

është një hiperbolë.

Si pjesë e rrafshët e një koni

Hiperbola (e kuqe): dy pamje të një koni dhe dy sfera luleradhiqe d ₁, d ₂

Në koordinatat karteziane

Ekuacioni

Nëse koordinatat karteziane gjehen të tilla që origjina është qendra e hiperbolës dhe boshti x është boshti kryesor, atëherë hiperbola quhet hapje lindje-perëndim dhe

vatrat janë pikat $F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)$,

kulmet janë $V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)$ .

Për një pikë arbitrare $(x,y)$ largësia nga vatra $(c,0)$ është ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ dhe në vatrën e dytë ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ . Prandaj pika $(x,y)$ është në hiperbolë nëse plotësohet kushti i mëposhtëm

$${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .$$

Hiqni rrënjët katrore duke ngritur në katror të dyja anët dhe përdorni relacionin $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ për të marrë ekuacionin e hiperbolës:

$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$$

Ky ekuacion quhet forma kanonike e hiperbolës, sepse çdo hiperbolë, pavarësisht nga orientimi i saj në lidhje me boshtet karteziane dhe pavarësisht nga vendndodhja e qendrës së saj, mund të shndërrohet në këtë formë nga një ndryshim i ndryshoreve, duke dhënë një hiperbolë që është në përputhje me origjinalin (shih më poshtë ).

Ekscentricitet

Për një hiperbolë në formën kanonike të mësipërme, ekscentriciteti jepet nga

$$e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.$$

Asimptota

Hiperbola: gjysmë boshtet a, b, jashtëqëndërsia lineare c, parametri vatror p

Hiperbola: 3 veti

Zgjidhja e ekuacionit (sipër) të hiperbolës për $y$ jep

$$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.$$

Nga kjo rezulton se hiperbola u afrohet dy vijave

$$y=\pm {\frac {b}{a}}x$$

për vlera të mëdha të $|x|$ . Këto dy drejtëza kryqëzohen në qendër (origjina) dhe quhen asimptota të hiperbolës ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$

Parametri vatror

Gjatësia e kordës nëpër një nga vatrat, pingul me boshtin kryesor të hiperbolës, quhet latus rectum . Gjysma e tij është rektumi gjysëm latusi $p$ . Llogaritjet tregojnë

$$p={\frac {b^{2}}{a}}.$$

Paraqitja parametrike me sinus/kosinus hiperbolik

Përdorimi i funksioneve hiperbolike të sinusit dhe kosinusit $\cosh ,\sinh$, një paraqitje parametrike e hiperbolës ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ mund të merret, e cila është e ngjashme me paraqitjen parametrike të një elipsi:

$$(\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,$$

që kënaq ekuacionin kartezian sepse $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.$

Këtu a = b = 1 duke dhënë hiperbolën njësi në ngjyrë blu dhe hiperbolën e saj të konjuguar në të gjelbër, duke ndarë të njëjtat asimptota të kuqe.

Hiperbola e konjuguar

Shkëmbeni ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ dhe ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ për të marrë ekuacionin e hiperbolës së konjuguar (shih diagramin):

$${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\ ,$$

shkruar edhe si

$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\ .$$

Një hiperbolë dhe e konjuguara i saj mund të kenë diametra që janë të konjuguar . Në teorinë e relativitetit special, diametra të tillë mund të përfaqësojnë boshtet e kohës dhe hapësirës, ku një hiperbolë përfaqëson ngjarje në një largësi të caktuar hapësinore nga qendra, dhe tjetra përfaqëson ngjarje në një largësi kohore korresponduese nga qendra.

Në koordinatat polare

Hiperbola: Koordinatat polare me pol = vatër

Hiperbola: Koordinatat polare me pol = qendër

Grafik i animuar i hiperbolës duke përdorur $r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}$

Origjina në vatër

Koordinatat polare të përdorura më shpesh për hiperbolën përcaktohen në lidhje me sistemin e koordinatave karteziane që e ka origjinën në një vatër dhe boshtin e saj x që tregon origjinën e "sistemit të koordinatave kanonik" siç ilustrohet në diagramin e parë.

Në këtë rast këndi $\varphi$ quhet anomali e vërtetë .

Në lidhje me këtë sistem koordinativ marrim

$$r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}$$

dhe

$$-\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).$$

Origjina në qendër

Me koordinatat polare në lidhje me "sistemin e koordinatave kanonik" (shih diagramin e dytë) e kemi atë

$$r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,$$

Për degën e djathtë të hiperbolës diapazoni i $\varphi$ është

$$-\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).$$

Vetitë

Vetia e reflektimit

Hiperbola: tangjentja i përgjysmon vijat nëpër vatra

Tangjentja në një pikë $P$ përgjysmon këndin ndërmjet vijave ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.$ Kjo quhet vetia optike ose vetia e reflektimit të një hiperbole.

Tangjentet ortogonale – ortoptiku

Hiperbola me ortoptikun e saj (magenta)

Për një hiperbolë ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ pikat e kryqëzimit të tangjenteve ortogonale shtrihen në rreth $x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$ .Ky rreth quhet ortoptik i hiperbolës së dhënë.

Gjatësia e harkut

Gjatësia e harkut të një hiperbole nuk ka një shprehje elementare . Gjysma e sipërme e një hiperbole mund të parametrizohet si

$$y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.$$

Pastaj integrali që jep gjatësinë e harkut $s$ nga $x_{1}$ te $x_{2}$ mund të llogaritet si:

$$s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.$$

Pas përdorimit të zëvendësimit $z=iv$, kjo mund të përfaqësohet gjithashtu duke përdorur integralin eliptik jo të plotë të llojit të dytë $E$ me parametër $m=k^{2}$ :

$$s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.$$

Duke përdorur vetëm numra realë, kjo bëhet

$$s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}$$

ku $F$ është integrali eliptik jo i plotë i llojit të parë me parametër $m=k^{2}$ dhe $\operatorname {gd} v=\arctan \sinh v$ është funksioni Gudermannian .

Aplikacionet

Hiperbolat si vija deklinimi në një orë diellore

Zona e kontaktit e valës goditëse të një avioni supersonik të nivelit në tokë të sheshtë (e verdhë) është pjesë e një hiperbole pasi toka kryqëzon konin paralel me boshtin e saj

Ora diellore

Hiperbolat mund të shihen në shumë orë diellore . Në çdo ditë të caktuar, dielli rrotullohet në një rreth në sferën qiellore dhe rrezet e tij që godasin pikën në një orë diellore nxjerrin një kon drite. Kryqëzimi i këtij koni me rrafshin horizontal të tokës formon një seksion konik. Në shumicën e gjerësive gjeografike të populluara dhe në shumicën e periudhave të vitit, ky seksion konik është një hiperbolë.

Multilateralizimi

Një hiperbolë është baza për zgjidhjen e problemeve të shumëpalësisë, detyra e gjetjes së një pike nga dallimet në largësitë e saj në pikat e dhëna - ose, në mënyrë të njëvlershme, ndryshesa në kohën e mbërritjes së sinjaleve të sinkronizuara midis pikës dhe pikave të dhëna. Probleme të tilla janë të rëndësishme në lundrim, veçanërisht në ujë; një anije mund të gjejë pozicionin e saj nga ndryshesa në kohën e mbërritjes së sinjaleve nga një transmetues LORAN ose GPS . Anasjelltas, një fener orientues ose ndonjë transmetues mund të gjendet duke krahasuar kohët e mbërritjes së sinjaleve të tij në dy stacione të veçanta marrëse; teknika të tilla mund të përdoren për të gjurmuar objektet dhe njerëzit. Në veçanti, grupi i pozicioneve të mundshme të një pike që ka një ndryshim largësie prej 2 a nga dy pika të dhëna është një hiperbolë e ndarjes së kulmeve 2 a, vatra e së cilës janë dy pikat e dhëna.

Ndarja në tre e këndit

Triseksioni i një këndi (AOB) duke përdorur një hiperbolë të jashtëqëndërsisë 2 (lakore e verdhë)

Siç tregohet fillimisht nga Apolloni i Pergës, një hiperbolë mund të përdoret për të triprerë çdo kënd, një problem gjeometrik i studiuar mirë. Kur jepet një kënd, vizatoni fillimisht një rreth me qendër në kulmin e tij O, i cili pret brinjët e këndit në pikat A dhe B. Më pas vizatoni segmentin e vijës nga A në B dhe përgjysmuesin e tij pingul $\ell$ . Ndërtoni një hiperbolë të jashtëqëndërsisë e =2 me $\ell$ si vijë drejtuese dhe B si vatër. Le të jetë P kryqëzimi (i sipërm) i hiperbolës me rrethin. Këndi POB trisekton këndin AOB .

Biokimia

Në biokimi dhe farmakologji, ekuacioni Hill dhe ekuacioni Hill-Langmuir përkatësisht përshkruajnë përgjigjet biologjike dhe formimin e komplekseve proteinë-ligand si funksione të përqendrimit të ligandit. Të dyja janë hiperbola drejtkëndore.

Hiperbolat si prerje planare të kuadrikeve

• 

  Koni eliptik

• 

  Cilindri hiperbolik

• 

  Paraboloidi hiperbolik

• 

  Hiperboloidi me një napë

• 

  Hiperboloidi me dy napa