Identiteti i Sommerfeldit

Identiteti Sommerfeld është një identitet matematikor, i emërtuar sipas zbuluesit, Arnold Sommerfeld, i përdorur në teorinë e përhapjes së valëve ,

${\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}$

ku

$\mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}$

duhet marrë me pjesë reale pozitive, për të siguruar konvergjencën e integralit dhe zhdukjen e tij në limitin kur $z\rightarrow \pm \infty$ dhe

$R^{2}=r^{2}+z^{2}$ .

Këtu, $R$ është largësia nga origjina ndërsa $r$ është largësia nga boshti qendror i një cilindri si në $(r,\phi ,z)$ sistemi cilindrik i koordinatave . Këtu shënimi për funksionet e Besselit ndjek konventën gjermane, për të qenë në përputhje me shënimin origjinal të përdorur nga Sommerfeld. Funksioni $I_{0}(z)$ është funksioni Bessel i rendit zero i llojit të parë, i njohur më mirë me shënimin $I_{0}(z)=J_{0}(iz)$ në letërsinë angleze. Ky identitet njihet si identiteti i Sommerfeldit.

Në shënimin alternativ, identiteti i Sommerfeldit mund të shihet më lehtë si një zgjerim i një valë sferike në termat e valëve cilindrike-simetrike:

${\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}$

Ku

$k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}$

Shënimi i përdorur këtu është i ndryshëm nga ai i mësipërm: $r$ tani është largësia nga origjina dhe $\rho$ është largësia rrezore në një sistem koordinativ cilindrik të përcaktuar si $(\rho ,\phi ,z)$ . Interpretimi fizik është se një valë sferike mund të zgjerohet në një përmbledhje të valëve cilindrike në drejtimin $\rho$, shumëzuar me një valë të rrafshët të dyanshme në drejtimin $z$ ; shih zgjerimin Jacobi-Anger . Përmbledhja duhet të merret mbi të gjithë numrat valor $k_{\rho }$ .