Integralet jo te vete

Integralet jo të vetë

Integrali i f(x) nga a në b është syprina sipër aksit x poshtë lakores y = f(x), minus syprinën poshtë aksit x dhe sipër lakores, për x në intervalin [a,b].

Në përkufizimin e integralit te caktuar : $\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx$ supozohej se intervali [a,b] është I fundëm, ndërsa funksioni f(x) të jetë I vazhdueshëm në këtë interval.Mirëpo problemet e ndryshme,si ato teorike ashtu edhe ato praktike,shpesh na sjellin deri te integrali I caktuar I funksionit në interval të pafundëm apo te integrali I caktuar I funksionit që ka shkëputje në intervalin [a,b].Integralet e tillë I quajmë integrale jo të vetë.

Integrali jo i vetë me kufij të pafundëm

Le të jetë f një funksion i vazhdueshem në intervalin e pafundëm [a,$\infty$ ).Integrali jo i vetë i funksionit f të vazhdueshëm në [a,$\infty$ ) e quajme limitin e integralit : $\int _{a}^{t}\!f(x)\,dx$ kur t→$\infty$ dhe simbolikisht shkruajmë:

$\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx\ =\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}\!f(x)\,dx$

Në qoftë se ekziston ky limit dhe është i fundëm,atëherë themi se integrali jo i vetë $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$ konvergjon,në raste tjera themi se integrali jo i vetë divergjon. Në mënyrë analoge përkufizohet edhe integrali jo i vetë me kufirin e poshtëm të pafundëm:

$\int _{-\infty }^{b}\,f(x)\ dx=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}\!f(x)\,dx$.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin e pafundem ($\infty$,$-\infty$),atëherë integrali:

$\int _{-\infty }^{\infty }\,f(x)\ dx=\int _{-\infty }^{c}\,f(x)\ dx+\int _{c}^{\infty }\,f(x)\ dx$.

konvergjon kur të dy integralet në anën e djathtë të barazimit konvergjojnë,ndërsa c është një numër i çfarëdoshëm.

Në shumë probleme si praktike ashtu edhe teorike paraqitet rasti kur funksioni primitiv i funksionit nënintegral nuk është funksion elementar,por nevojitet të dihet se integrali jo i vetë i tillë a konvergjon apo divergjon.Prandaj,ngjashëm me seritë numerike,pa e njehesuar integralin jo të vetë,me kritere krahasuese,mund te konkludohet se a konvergjon apo divergjon.

Teoremë

Le të jenë f dhe g dy funksione të tilla që për çdo x $\in$ (a,$\infty$) vlen 0 $\leq \!\,$ f(x) $\leq \!\,$ g(x).Atëherë,

(I) në qoftë se konvergjon $\int _{a}^{\infty }\,g(x)\ dx$ ,konvergjon dhe $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$;

(II) në qoftë se divergjon $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$ ,divergjon dhe $\int _{a}^{\infty }\,g(x)\ dx$;

Në qoftë se $\int _{a}^{\infty }\,|f(x)\ |dx$ konvergjon, atëherë konvergjon edhe $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$.

Për integralin $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$ themi se konvergjon absolutisht në qoftë se konvergjon integrali $\int _{a}^{\infty }\,|f(x)\ |dx$ .Në qoftë se $\int _{a}^{\infty }\,|f(x)\ |dx$ divergjon, por $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$ konvergjon,atëherë themi se integrali $\int _{a}^{\infty }\,f(x)\ dx$ konvergjon joabsolutisht.

Integrali jo i vetë i funksionit të pakufizuar

Integral jo i vetë është edhe integrali me kufij të fundëm të integrimit, por funksioni nënintegral është i pakufizuar në një pikë apo në një numër të fundëm pikash të intervalit të intgrimit.

Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në [a,b) dhe le të jetë :$\lim _{x\to b-}f(x)=+\infty$ ose  :$\lim _{x\to b-}f(x)=-\infty$ .Atëherë integrali :

$\int _{a}^{b}\,f(x)\ dx$ = $\lim _{t\to b-}\int _{a}^{t}\,f(x)\ dx$ , (a $\leq \!\,$ t < +$\infty$)

konvergjon sa herë që limiti në anën e djathtë të barazimit të mësipërm të ekziston.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin [a,b] përveç në pikën c, a<c<b dhe $\lim _{x\to c}|f(x)|=\infty$ , atëherë integrali jo i vetë:

$\int _{a}^{b}\,f(x)\ dx$=$\int _{a}^{c}\,f(x)\ dx$ + $\int _{c}^{b}\,f(x)\ dx$ ,konvergjon, në qofte se të dy integralet në anën e djathte te barazimit konvergjojnë.Përkufizimi i fundit mund të përgjithsohet edhe në rastin kur funksioni f në intervalin [a,b] ka një numër të fundëm pikash c_i (i=1,2,...,n) për të cilat :$\lim _{x\to ci}|f(x)|=\infty$

Në qoftë se në intervalin [a,b) funksionet f dhe g janë të tilla që $\lim _{x\to b-}f(x)=+\infty$ dhe :$\lim _{x\to b-}g(x)=+\infty$ si dhe 0 $\leq \!\,f(x)\leq \!\,g(x)$ , atëherë :

(I) në qoftë se konvergjon $\int _{a}^{b}\,g(x)\ dx$ ,konvergjon dhe $\int _{a}^{b}\,f(x)\ dx$ ;

(II) në qoftë se divergjon $\int _{a}^{b}\,f(x)\ dx$ ,divergjon dhe $\int _{a}^{b}\,g(x)\ dx$ .