Katërkëndëshi Tangjencial

Në gjeometrinë Euklidiane, Katërkëndësh Tangjencial quhet katërkëndëshi konveks i cili i ka të gjitha brinjët tangjente me një rreth të vetëm brendashkruar katërkëndëshit.

Shembuj katërkëndësh tangjencial janë rombi e katrori.

Të gjithë trekëndëshave u brendashkruet një rreth, por kjo nuk ndodh me të gjithë katërkëndëshat. Kështu që një katërkëndësh të jetë tangjencial duhet të plotësojë disa veti shtesë.

Kushtet që një katërkëndësh të jetë tangjencial

Një katërkëndësh konveks çfardo, le ta quajmë $ABCD$ është tangjencial, nëse dhe vetëm nëse:

shuma e brinjëve të kundërta është e barabartë. $AB+CD=BC+AD$ (Teorema e Pitot) [1] Kjo është vetia dalluese e katërkëndëshit tangjencial .
përmesoret e këndeve priten në qendren e rrethit brendashkruar.
$BE+BF=DE+DF$ , ku $E$ është pika e prerjes së zgjatimit të brinjëve $AB$ e $DC$ , dhe $F$ është pika e prerjes së zgjatimit të brinjëve $AD$ e $BC$ .^[1]
rrathët e brendashkruar dy trekëndshave, që formohen nga secila diagonale, janë tangjente midis tyre. ^[2]

rrathët e brendashkruar dy trekëndshave të formuar nga një diagonale e tagjencialit

Vetitë

Nëse ABCD është një katërkëndësh tangjencial me brinjë $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , dhe reze të rrethit brendashkruar $r$ , atëherë sipërfaqja e tij është $K=r\cdot {\frac {a+b+c+d}{2}}$
$K={\frac {1}{2}}{\sqrt {(pq)^{2}-(ac-bd)^{2}}}$ . ^[3]
$\tan {\frac {\widehat {ABD}}{2}}\cdot \tan {\frac {\widehat {BDC}}{2}}=tan{\frac {\widehat {ADB}}{2}}\cdot \tan {\frac {\widehat {DBC}}{2}}$ . ^[4]
$r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}$ ^[5]
Elementët e një katërkëndëshi tangjencial
$p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}(e+g)(f+h)+4fh)}}$ , $p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}(e+g)(f+h)+4fh)}}$ ^[6]

Burimet

^ Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, pp. 64–68
^ Josefsson, Martin (2011), "More Characterizations of Tangential Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82.
^ Durell, C.V.; Robson, A. (2003), Advanced Trigonometry, Dover reprint, pp. 28–30
^ Minculete, Nicusor (2009), "Characterizations of a Tangential Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 113–118.
^ Hoyt, John P. (1984), "Quickies, Q694", Mathematics Magazine, 57 (4): 239, 242
^ Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–106.

[1] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, pp. 64–68

[2] Josefsson, Martin (2011), "More Characterizations of Tangential Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82.

[3] Durell, C.V.; Robson, A. (2003), Advanced Trigonometry, Dover reprint, pp. 28–30

[4] Minculete, Nicusor (2009), "Characterizations of a Tangential Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 113–118.

[5] Hoyt, John P. (1984), "Quickies, Q694", Mathematics Magazine, 57 (4): 239, 242

[6] Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–106.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]