Katërkëndëshi ciklik

Në Gjeometrinë Euklidiane, Katërkëndësh Ciklik quhet katërkëndëshi kulmet e të cilit ndodhen në të njëjtin rreth. Ky rreth quhet rrethi i jashtëshkruar katërkëndëshit. Shembuj Katërkëndësh Ciklik janë drejtkëndëshët e trapezat dybrinjënjëshëm.

Të gjithë trekëndëshave u jashtëshkruhet një rreth, por kjo nuk ndodh me të gjithë katërkëndëshat. Kështu që një katërkëndësh të jetë ciklik duhet të plotësojë disa veti shtesë.

Kushtet që një katërkëndësh të jetë ciclik

Një katërkëndësh çfardo, le ta quajmë $ABCD$ është ciclik, nëse dhe vetëm nëse:

shuma e këndeve të kundërt është 180^o. ${\widehat {A}}+{\widehat {C}}={\widehat {B}}+{\widehat {D}}=180^{o}$ . Kjo është vetia dalluese e katërkëndëshit ciklik.
këndi midis një brinje dhe njërës diagonale është i barabartë me këndin midis brinjës përballë dhe diagonales tjetër.
prodhimi i gjatësive të diagonaleve të tij është i barabartë me shumën e prodhimit brinjëve të kundërta. $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$ (Ptolemy's theorem).
mesoret e të katër brinjëve priten në një pikë të vetme.
$AE\cdot EC=BE\cdot ED$ , ku $E$ është pika e prerjes së diagonaleve $AC$ e $BD$ .
këndi i jashtëm është i barabartë me këndin e kundërt të brendshëm të tij.

Vetitë

Elementët e një katërkëndëshi ciklik

Nëse $ABCD$ është një katërkëndësh ciklik atëherë:

$FA\cdot FB=FD\cdot FC$ , ku $F$ është pika e prerjes së zgjatimit të brinjëve $AB$ e $DC$ .
${\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}$ , si dhe ${\frac {BE}{DE}}={\frac {BA}{DA}}\cdot {\frac {BC}{DC}}$ ku $E$ është pika e prerjes së diagonaleve.^[1]
${\widehat {AEB}}={\frac {{\widehat {AOB}}+{\widehat {COD}}}{2}}$ .
sipërfaqja e tij është $K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ (Brahmagupta's formula), ku $s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c+d\right)$ është gjysma e perimetrit. Katërkëndësh ciklik ka sipërfaqen më të madhe nga të gjithë katëkëndshat që kanë të njëjtat gjatësi të brinjëve. Gjithashtu $K={\frac {1}{4R}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+dc)}}.$ ^[2]
diagonalet e tij janë: $p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}$ dhe $q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}$ ^[3].
$tan{\frac {\alpha }{2}}\cdot \tan {\frac {\gamma }{2}}=tan{\frac {\beta }{2}}\cdot tan{\frac {\delta }{2}}=1$ ^[4]
rrezja e rrethit jashtëshkuar është $R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$ ^[5]

Burimet

^ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2], Accessed 18 March 2014.
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9
^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–6
^ Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499): 69–70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477

[1] A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2], Accessed 18 March 2014.

[2] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9

[3] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[4] Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–6

[5] Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499): 69–70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]