Katrori i Binomit

Në algjebër elementare, teorema binom (ose zgjerimi binomial) përshkruan zgjerimin algjebrik të fuqive të një binomi. Sipas teoremës, është e mundur të zgjerohet polinomi (x + y) në një shumë që përfshin termat e formës a xb yc, ku eksponentët b dhe c janë integers jo-negativë me b + c = n dhe koeficienti a i çdo termi është një numër i plotë pozitiv në varësi të n dhe b. Për shembull:

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$

Koeficienti a në termin e një xb yc njihet si koeficienti binomial ${\tbinom {n}{b}}$ ose ${\tbinom {n}{c}}$ (të dy kanë të njëjtën vlerë). Këta koeficientë për ndryshimin e n dhe b mund të rregullohen për të formuar trekëndëshin Pascal. Këto numra gjithashtu lindin në kombinatorikë, ku ${\tbinom {n}{b}}$ jep numrin e kombinimeve të ndryshme të elementëve b që mund të zgjidhen nga një element n i vendosur.

Shembuj

Shembulli më themelor i teoremës binomiale është formula për katrorin e x + y:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

Koeficientët binom 1, 2, 1 që paraqiten në këtë zgjerim korrespondojnë me rreshtin e dytë të trekëndëshit Pascal. (Vini re se lartësia "1" e trekëndëshit konsiderohet të jetë rreshti 0, sipas konventës.) Koeficientët e fuqive më të larta të x + y korrespondojnë me rreshtat më të ulëta të trekëndëshit:

${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

Disa shpjegime në përgjithësi, për zgjerimin (x + y)ⁿ:

1. fuqitë e x fillojnë në n dhe ulen me 1 në çdo afat deri sa të arrijnë 0 (me x⁰ = 1, shpesh të pashkruar);
2. fuqitë e y fillojnë në 0 dhe rritet për 1 derisa të arrijnë formën n;
3. rreshti i n-të i trekëndëshit të Pascalit do të jenë koeficientët e binomit të zgjeruar kur kushtet janë rregulluar në këtë mënyrë;
4. numri i termave në zgjerimin para se termat të kombinohen, është shuma e koeficientëve dhe është e barabartë me 2ⁿ; dhe
5. do të ketë terma n + 1 në shprehjen pas kombinimit të termave në zgjerim