Koordinatat e përgjithshme

Po të derivojmë ekuacionet e levizjes në terma të një bashkësie të kordinatave të përgjithshme, rezultatet e arritura do të jenë të vlefshme për cdo sistem kordinativ në të cilën ato mund të specifikohen."^[1].Koncepti i kordinatave të përgjithshme u fut gjatë lindjes së mekanikës analitike.Emri i tyre ka ngelur që nga koha kur kordinata Karteziane ishin sistemi standart.

Kordinatat e përgjithshme të pavarura

Për një problem të caktuar, është në avantazhin tonë që të zgjedhim kordinata të përgjithshme në mënyrë që ato të jenë të pavarura, siç bëhet në mekanikën e Lagranzhit, sepse një zgjedhje e tillë eliminon variablat që kërkohen për të shprehur konditat kufizuese midis kordinatave. Megjithatë kur, merremi me shtrëngesa të imponuara nga sisteme joholonome ose kur përpiqemi për të gjetur forcën që lind si rrjedhojë e shtrëngesave holonome ose jo, në varësi të kordinatave të përgjithshme që duhet të përdoren. Nonjëhere kordinatat e përgjithshme quhen kordinata të brëndshme sepse ato janë mutualisht të pavarura, të pakufizuara dhe së bashku japin pozicionin e sistemit.

Një sistem me $m$ grada lirie dhe n thërrmija, pozicionet e të cilave mund të dizenjohen me anë të vektorëve tre dimensionalë, $\lbrace \mathbf {r} _{i}\rbrace$ , implikon ekzistencen e $3n-m$ ekuacioneve kufizuese skalare ne pozicionet e atyre variablave. Nje sitem i tille mund te përshkruhet në mënyrë të plotë nga kordinata të përgjithshme skalare, $\lbrace q_{1},q_{2},...,q_{m}\rbrace$ , dhe nga koha, $t$ , ne qofte se të gjitha $m$ $\lbrace q_{j}\rbrace$ janë kordinata të pavarura. Për sistemin, transformimin nga kordinata e vjetra te ato të përgjithshme jepet si me poshtë:^[1]

\mathbf {r} _{1}=\mathbf {r} _{1}(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)

,

\mathbf {r} _{2}=\mathbf {r} _{2}(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)

, ...

\mathbf {r} _{n}=\mathbf {r} _{n}(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)

.

Ky transformim eshte teper fleksibël kur merresh me sisteme komplekse në të cilat duhet të përdoren kordinata më të dobishme të cilat mund të mos jenë kordinata inerciale. Këto ekuacione përdoren për ndërtimin e diferencialeve kur merr në konsideratë zhvendosjen virtuale dhe forcën e pergjithshme.

Shembuj

Një lavjerres i dyfishte i shtrenguar te lëvizë në planin e faqes mund të përshkruhet nga katër kordinata Karteziane $\lbrace x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\rbrace$ , por duhet theksuar se sistemi ka vetem dy grada lirie, dhe një sistem më eficent do të perdorte

\lbrace q_{1},q_{2}\rbrace =\lbrace \theta _{1},\theta _{2}\rbrace

, te cilat janë të përcaktuara nëpërmjet relacioneve te mëposhtme:

$\lbrace x_{1},y_{1}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1},l_{1}\cos \theta _{1}\rbrace$

\lbrace x_{2},y_{2}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1}+l_{2}\sin \theta _{2},l_{1}\cos \theta _{1}+l_{2}\cos \theta _{2}\rbrace

Nje sferë e cila është e shtrënguar të lëvizë në një tel ka vetem një gradë lirie, dhe kordinatat e pergjithshme që përdoren për të përshkruara lëvizjen e saj zakonisht është:

q_{1}=l

,

ku $l$ është distanca përgjatë një pike reference të telit. Vini re që levizja e inkorporuar në tre dimensione është reduktuar ne një dimension të vetëm.

Një objekt i kufizuar në një sipërfaqe ka dy grada lirie, edhe pse levizja është prapë e inkorporuar në tre dimensione. Nëqoftëse sipërfaqja është një sferë, një zgjedhje e mirë e kordinatave do të ishte:

\lbrace q_{1},q_{2}\rbrace =\lbrace \theta ,\phi \rbrace

,

ku $\theta$ dhe $\phi$ jane kordinata këndore familjare të kordinatave sferike. Kordinata $r$ efektivisht eshtë përjashtuar, sepse sfera ka nje rreze konstante.

Shpejtesitë e përgjithshme dhe energjia kinetike

Cdo koordinate e përgjitshme $q_{i}$ është e asociuar me një shpejtëi të përgjithshme ${\dot {q}}_{i}$ , të përcaktuar si:

{\dot {q}}_{i}={dq_{i} \over dt}

Energjia kinetike e thërrmijës është

T={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)

.

Ne terma më të përgjithshme, për një sistem të $p$ thërmijave me $n$ grada lirie, kjo mund të shkruhet

T=\sum _{i=1}^{p}{\frac {m_{i}}{2}}\left({\dot {x}}_{i}^{2}+{\dot {y}}_{i}^{2}+{\dot {z}}_{i}^{2}\right)

.

Neqoftëse ekuacionet e transformimit midis kordinatave Karteziane dhe atyre të përgjithshme

x_{i}=x_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right)

$y_{i}=y_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right)$

z_{i}=z_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right)

nijhen, keto ekuacione mund te diferencohen ne menyre qe te japin derivatet kohore qe pedoren en ekaucionin e melartem te enrgjise kinetike:

{\dot {x}}_{i}={\frac {d}{dt}}x_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right).

Është e rëndesishme që të kujtoni që energjia kinetike duhet të matet në lidhje me një sistem kordinativ inercial.Nëqoftëse metoda e melartme perdoret, ajo do te thote se kordinatat Karteziane duhet qe te jene inerciale, edhe pse kordinat e epergjithshme mund te mos jene. Kjo eshte nje tjeter veti shume e dobishme ekordinatave te pergjithshme.

Aplikime te kordinatave te pergjithshme

Kordinata te tilla jane shume te vlefshme zakonisht ne dinamiken Laganzhiane, ku format e ekuacioneve thelbesore per pershkrimin e levizjes nuk ndryshojne ne nje zhvendosje nga njera kordinate e pergjithshme ne nje sistem tjeter kordinatash.

Sasia e punes virtuale te kryer pergjate nje kordinate cfaredo $q_{i}$ jepet nga:

\delta \ W_{q_{i}}=F_{q_{i}}\cdot \delta \ q_{i}

,

ku $F_{q_{i}}$ eshte forca e pergjithshme ne drejtimin e $q_{i}$ . Kur forca e pergjithshme eshte e vehtire per tu ndertuar 'a priori', ajo mund te drivohet shpejt duke percaktuar sasine e punes qe duhet bere nga te gjitha forcat jo-kufizuese neqoftese sitemi do te kryente nje zhvendosje virtuale te $\delta \ q_{i}$ , me te gjitha kordinatat e pergjithshme dhe me kohen te majtura te fiksuara. Kjo do marri formen:

\delta \ W_{q_{i}}=f\left(q_{1},q_{2},...,q_{n}\right)\cdot \delta \ q_{i}

,

dhe forca e pergjithshme mund te llogaritet nga:

F_{q_{i}}={\frac {\delta \ W_{q_{i}}}{\delta \ q_{i}}}=f\left(q_{1},q_{2},...,q_{n}\right)

.

Shikoni gjithashtu

Referime

^ ^a ^b Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering (në anglisht). United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

Greenwood, Donald T. (1987). Principles of Dynamics (bot. i dytë). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Wells, D. A. (1967). Schaum's Outline of Lagrangian Dynamics. New York: McGraw-Hill. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Torby1984-1] Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering (në anglisht). United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[1]