Seritë formale potenciale

Seritë formale potenciale mundësojnë aplikimin e koncepteve nga Analiza matematike pra të serive potenciale të cilat nuk e shqyrtojnë konvergjencën. S.F.P. kanë zbatim të madh në Kombinatorikë, ata mundësojnë paraqitjen kompakte të një vargu, dhe për paraqitjen e formulave eksplicite për vargjet e përkufizuara me formula rekurente si p.sh Vargu i Fibonaccit kjo metodë quhet edhe metodë e Funksioneve gjeneratrisa.

Përkufizimi joformal

Një S.F.P. mund të kuptohet si polinom me pafund shumë terma ose si një Seri e Taylorit, për të cilën nuk na intereson çështja e konvergjencës. P.sh e shqyrtojmë serinë si seri formale

$A=1-3x+5x^{2}-7x^{3}+9x^{4}-11x^{5}+\cdots .$

i vërejmë vetëm koeficientët e saj [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. pra seria nënkuptohet me vargun koeficientëve të saj.

Aritmetika e S.F.P. është si ajo e polinomeve. P.sh. nëse

$B=2x+4x^{3}+6x^{5}+\cdots ,$

atëherë për mbledhjen e serive kemi:

$A+B=1-x+5x^{2}-3x^{3}+9x^{4}-5x^{5}+\cdots .$

ndërsa për shumëzimin kemi:

$AB=2x-6x^{2}+14x^{3}-26x^{4}+44x^{5}+\cdots .$

Nëse e kemi përkufizuar shumëzimin atëherë mund ta përcaktojmë edhe elementin inverz të serisë. Inverzi i serisë A është seria C e tillë që AC = 1, supozohet se një seri e tillë ekziston. Pra nëse A ka inverzin e saj në lidhje me shumëzimin ai është i vetëm dhe shënohet me A ⁻¹. Pjestimi i serive formale potenciale shënojmë me B / A prodhimin B A ⁻¹, duke supozuar se ekziston inverzi i A . Për shembull mund të shfrytëzojmë përkufizimin e shumëzimit të dhënë më sipër për të vërtetuar se vlen formula

${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .$

Një operacion tjetër i rëndësishëm me seri formale është përcaktimi i koeficientëve të saj është operacioni i gjetjes së koeficientit pranë xⁿ, i cili shënohet me [xⁿ] A, ashtuqë [x²] A = 5 dhe [x⁵] A = −11. Një shembull tjetër është

$[x^{3}]B=4,\quad [x^{2}](x+3x^{2}y^{3}+10y^{6})=3y^{3},{\text{ dhe }}[x^{2}y^{3}](x+3x^{2}y^{3}+10y^{6})=3$

dhe

$[x^{n}]{\frac {1}{1+x}}=(-1)^{n}{\text{ dhe }}[x^{n}]{\frac {x}{(1-x)^{2}}}=n.$