Torusi

Në gjeometri, një torus (në shumës tori) është një sipërfaqe vërtitëse e gjeneruar nga vërtitja e një rrethi në hapësirë tre-dimensionale mbi një bosht komplanar me rrethin. Nëse boshti i vërtitjes nuk e prek rrethin, sipërfaqja ka një formë unaze dhe quhet torus unaze ose thjesht torus nëse forma e unazës është implicite.

Një torus

Ndërkohë që distanca e boshtit ndërron, torusi unazë bëhet torus cepor, pastaj një torus boshtor, dhe në fund degjenerohet në një sferë.

Kur boshti është tangjent në rreth, sipërfaqja rezultuese quhet torus i cepit; kur boshti është kordë në rreth, quhet torus boshtor. Një rast degjenerimi është kur boshti është diametër i rrethit, i cili thjesht gjeneron dy sfera. Torusi unazë lidh një trup të ngurtë të njohur si torus i ngurtë ose, në mënyrë alternative, toroid unaze. Mbiemri toroidal mund të përdoret për tori, toroid, ose më përgjithësisht, për secilën formë unaze, si dhe te induktorët dhe transformatorët toroidal. Shembuj nga përditshmëria të objekteve (përafërsisht) toroide përfshijnë tubat e gomave të makinave dhe rrathët për notim.

Një torus nuk duhet të përzihet me një torus të ngurtë, i cili formohet nga rrotullimi i një diksu , më shumë sesa një rrethi, rreth një boshti. Ai paraqet torusin dhe vëllimin brenda torusit. Shembuj të përditshmërisë përfshijnë petullat, gomat e shpëtimit, dhe “o-rings”.

Në tipologji, një torus unazë është homeomorfik me prodhukim kartezian të dy rrathëve: S₁ x S₁. Torusi unazë është në një mënyrë për të futur këtë hapësirë në sipërfaqe tri-dimensionale Euklidiane, por në anën tjetër për ta bërë këtë është prodhimi kartezian që fut S₁ në plan. Kjo prodhon objektin gjeometrik të quajtur torusi Clifford, në sipërfaqe 4-hapësinore.

Fjala torus vjen nga latinishtja dhe nënkupton një lloj jastëku.

Gjeometria

Torusi është prodhim i dy rrathëve, në rast se rrethi i kuq është i përfshirë në boshtin që definon rrethin rozë. R është rrezja e rrethit rozë, r është rrezja e rrethit të kuq.

Torusi unazë

Torusi cepor

Torusi boshtor

Gjysmat e poshtme dhe prerjet tërthore të tri klasëve

Një torus mund të përkufizohet parametrikisht nga:

${\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \end{aligned}}$

ku

θ, φ janë këndet të cilat e bëjnë një rreth të plotë, duke filluar në zero dhe përfunduar në 2π, kështu që vlerat e tyre fillojnë dhe mbarojnë në të njëjtën pikë,

R është distance nga qendra e tubit në qendër të torusit,

r është rrezja e tubit.

R dhe r janë të njohura si “rrezja e madhe” dhe “rrezja e vogël”, respektivisht. Raporti i tyre është i njohur si “aspect ratio”. Një petull (doughnut) ka një aspect ratio rreth 2 në 3.

Një ekuacion implicit në koordinata karteziane për një torus simetrik rrezor mbi boshtin z është

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},$

Ose zgjidhja e f(x, y, z) = 0, ku

$f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}.$

Në mënyrë algjebrike eleminohet rrënjët katore japin një ekuacion kuartik,

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

Tri klasë të ndryshme të torusëve standard korrespondojnë në tri madhëzi relative të mundshme të r dhe R. Kur R>r, sipërfaqja do të jetë e ngjashme me torusin unazë. Rasti i R=r korrespondon me torus cepor, i cili është një torus pa “vrimë”. Rasti R<r përfshkruan një torus të vetë-ndërthurur boshtor. Kur R=0, torusi degjeneron në sferë.

Kur R≥r, brendësia

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}<r^{2}$

E këtij torusi është difeomorfike (dhe, prandaj, homeomorfike) të prodhimi i diskut të hapur të Euklidit dhe rrethit. Sipërfaqja dhe vëllimi interior i këtij torusi mund të llogariten lehtë nga teorema e Pappusit

${\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr\\V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}\end{aligned}}$

Topologjia

Në mënyrë topologjike, një torus është një sipërfaqe e mbyllur e përkufizuar si produkt i dy rrathëve: S₁ x S₁. Kjo mund të shihet si e pavërtet në C₂ dhe është subset i tri sferave S₃ i rrezes ***. Ky torus topologjik është po ashtu i quajtur torusi Clifford. Në fakt S₃ është i mbushur nga një familje torusëve të mbivendosur në këtë mënyrë (me dy rrathë të degjeneruar), një fakt i rëndësishëm për tu studiuar i S₃-shit si pako e fibrave mbi S₂ (pakoja Hopf).

Sipërfaqja e përshkruar më sipër, jep topologjinë relative R₃, është homeomorfik me një torus topologjik aq gjatë sa nuk e ndërpret boshtin e vet.

Torusi mund të përshkruhet edhe si koeficinet i planit kartezian nën identifikime :(x, y) ~ (x+1, y) ~ (x, y+1).

Ngjyrosja e një torusi

Ky konstruksion tregon torusin e ndarë në shtatë regjione, secili nga ta e prek tjetrin.

Nëse një torus është i ndarë në disa regjione, atëherë është gjithmonë e mundur të ngjyrosim regjionet me një më shumë se shtatë ngjyra ashtu që regjionet fqinje të kenë ngjyra të ndryshme. (Kontrasti me teoremën e katër ngjyrave për planin.)

Prerja e një torusi

Një torus standard (specifikisht, një torus unazë) mund të pritet me n-plane në

${\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)$

pjesë.

Termi fillestar i kësaj sekuencë për n-fillime nga 1 janë: 2, 6, 13, 24, 40, … (sekuenca A003600 në OEIS).