Bashkësia partitive

Le të jetë dhënë bashkësia S, atëherë bashkësia ${\mathcal {P}}(S)$, e të gjitha nënbashkësive të bashkësisë S quhet bashkësi partitive (anglisht power set) e bashkësisëS.

Ç'do nënbashkësi F e ${\mathcal {P}}(S)$ quhet familje bashkësish mbi S.

Elementet e bashkësisë {x, y, z} të rendtura sipas relacionit të inkluzionit (përfshirjes).

Shembull

Nëse S është bashkësia {x, y, z}, atëherë lista e të gjitha nënbashkësive të S është kjo:

• { } (ose $\emptyset$)
• {x}
• {y}
• {z}
• {x, y}
• {x, z}
• {y, z}
• {x, y, z}

pra bashkësia partitive e S është

${\mathcal {P}}(S)=\left\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\right\}\,\!.$

Vetitë

Nëse S është bashkësi e fundme me |S| = n elemente atëherë vlen $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}$

Bashkësia ${\mathcal {P}}(S)$ , së bashku me operacionet Unioni bashkësive, Prerja e bashkësive dhe komplementi i bashkësive është një shembull tipik i një algjebre e cila quhet Algjebra e Booleit.

Bashkësia ${\mathcal {P}}(S)$ formon Grup Abelian në lidhje me operacionin Diferenca simmetrike (elementi njësi i këtij grupi është bashkësia e zbrazët ndërsa ç'do element tjetër është element inverz i vetvehtes).

Bashkësia ${\mathcal {P}}(S)$ është gjysëmgrup komutativ në lidhje me prerjen e bashkësive.

Pasi plotësohet ligji distributiv që i lidh dy operacionet e fundit përfundojmë se ${\mathcal {P}}(S)$ është edhe unazë komutative.

Lidhje të jashtme

• Power Set
• Java program implementation of Power set