Derivati i kohës

Një derivat kohor është një derivat i një funksioni në lidhje me kohën, zakonisht interpretohet si shpejtësia e ndryshimit të vlerës së funksionit. Ndryshorja që tregon kohën zakonisht shkruhet si $t$ .

Shënimi

Një shumëllojshmëri shënimesh përdoren për të treguar derivatin e kohës. Përveç shënimit normal ( të Lajbnicit ),

${\frac {dx}{dt}}$

Një shënim shumë i zakonshëm i shkurtuar që përdoret, veçanërisht në fizikë, është 'mbi-pika'. dmth

${\dot {x}}$

(Ky quhet shënimi i Njutonit )

Përdoren edhe derivatet më të larta të kohës: derivati i dytë në lidhje me kohën shkruhet si

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

me stenografinë përkatëse të ${\ddot {x}}$ .

Si përgjithësim, derivati kohor i një vektori, të trajtës:

$\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]$

përkufizohet si vektori, përbërësit e të cilit janë derivatet e përbërësve të vektorit origjinal. Kjo në terma të tjerë do të thotë,

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].$

Derivatet kohore janë një koncept kyç në fizikë . Për shembull, për një pozicion në ndryshim $x$, derivati i saj kohor ${\dot {x}}$ është shpejtësia e saj dhe derivati i dytë i saj në lidhje me kohën, ${\ddot {x}}$, është nxitimi i tij . Nganjëherë përdoren edhe derivate më të lartë: derivati i tretë i pozicionit në lidhje me kohën njihet si hov.

Një numër i madh ekuacionesh themelore në fizikë përfshijnë derivate për herë të parë ose të dytë të madhësive. Shumë madhësi të tjera themelore në shkencë janë derivate kohore të njëra-tjetrës:

• forca është derivati kohor i impulsit
• fuqia është derivati kohor i energjisë
• rryma elektrike është derivati kohor i ngarkesës elektrike

Me këtë formë për zhvendosjen, gjendet shpejtësia e çastit. Derivati kohor i vektorit të zhvendosjes është vektori i shpejtësisë. Në përgjithësi, derivati i një vektori është një vektor i përbërë nga përbërës secili prej të cilëve është derivat i përbërësit përkatës të vektorit origjinal. Kështu, në këtë rast, vektori i shpejtësisë është:

Shembull: lëvizja rrethore

Lidhja ndërmjet koordinatave karteziane ( x, y ) dhe koordinatave polare ( r, θ ).

Për shembull, merrni parasysh një grimcë që lëviz në një shteg rrethor. Vendndodhja e saj jepet nga vektori i zhvendosjes $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}$, lidhur me këndin, θ, dhe largësinë rrezore, r, siç përcaktohet në figurë:

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

Për këtë shembull, supozojmë se θ = t . Prandaj, zhvendosja (pozicioni) në çdo kohë t jepet nga

$\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}$

Kjo formë tregon se lëvizja e përshkruar nga r ( t ) është në një rreth me rreze r sepse madhësia e r ( t ) jepet nga

$|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r$

duke përdorur identitetin trigonometrik sin²(t) + cos²(t) = 1 dhe ku $\cdot$ është prodhimi i zakonshëm i pikave Euklidiane.

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}$

Atëherë nxitimi është derivati kohor i shpejtësisë:

$\mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.$

Përdorimi në ekonomi

Në ekonomi, shumë modele teorike të evolucionit të ndryshoreve të shumëllojshme ekonomike ndërtohen në kohë të vazhdueshme dhe për këtë arsye përdorin derivate kohore.  : ch. 1-3 Një situatë përfshin një ndryshore stoku dhe derivatin e tij kohor, një ndryshore fluksi . Shembujt përfshijnë:

• Rrjedha e investimeve fikse neto është derivati kohor i stokut të kapitalit .
• Rrjedha e investimit të inventarit është derivati kohor i stokut të inventarit .
• Shkalla e rritjes së ofertës monetare është derivati kohor i ofertës monetare të ndarë me vetë ofertën monetare.