Ekuacioni diferencial i pjesshëm hiperbolik

Në matematikë, një ekuacion diferencial i pjesshëm hiperbolik i rendit $n$ është një ekuacion diferencial i pjesshëm (EDP) që, përafërsisht, ka një problem me vlerë fillestare të vendosur mirë $n-1$ derivatet e para. Më saktësisht, problemi Koshi mund të zgjidhet lokalisht për të dhëna fillestare arbitrare përgjatë çdo sipërfaqjeje jo karakteristike. Shumë nga ekuacionet e mekanikës janë hiperbolike, dhe kështu studimi i ekuacioneve hiperbolike është me interes thelbësor bashkëkohor. Ekuacioni hiperbolik i modelit është ekuacioni i valës . Në një dimension hapësinor, kjo shkruhet si$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$Ekuacioni ka vetinë që, nëse $u$ dhe derivati i tij i parë për herë të parë janë të dhëna fillestare të specifikuara në mënyrë arbitrare në vijën $t=0$ (me veti të mjaftueshme të butësisë), atëherë ekziston një zgjidhje për të gjithë kohën $t$ .

Zgjidhjet e ekuacioneve hiperbolike janë "të ngjashme me valët". Nëse bëhet një shqetësim në të dhënat fillestare të një ekuacioni diferencial hiperbolik, atëherë jo çdo pikë e hapësirës e ndjen shqetësimin menjëherë. Në lidhje me një koordinatë fikse kohore, shqetësimet kanë një shpejtësi të kufizuar të përhapjes . Ato udhëtojnë përgjatë karakteristikave të ekuacionit. Kjo veçori dallon cilësisht ekuacionet hiperbolike nga ekuacionet diferenciale të pjesshme eliptike dhe ekuacionet diferenciale të pjesshme parabolike . Një shqetësim i të dhënave fillestare (ose kufitare) të një ekuacioni eliptik ose parabolik ndihet menjëherë nga të gjitha pikat në bashkësinë e fytyrave.

Megjithëse përkufizimi i hiperbolizmit është në thelb një përkufizim cilësor, ekzistojnë kritere të sakta që varen nga lloji i veçantë i ekuacionit diferencial në shqyrtim. Ekziston një teori e zhvilluar mirë për operatorët diferencialë linearë, për shkak të Lars Gårdingut, në kontekstin e analizës mikrolokale . Ekuacionet diferenciale jolineare janë hiperbolike nëse linearizimet e tyre janë hiperbolike në kuptimin e Gårdingut. Ekziston një teori disi e ndryshme për sistemet e rendit të parë të ekuacioneve që vijnë nga sistemet e ligjeve të ruajtjes .

E ç'është një EDP hiperbolik?

Një ekuacion diferencial i pjesshëm është hiperbolik në një pikë $P$ me kusht që problemi i Koshiut të jetë i zgjidhshëm në mënyrë unike në një afërsi të $P$ për çdo të dhënë fillestare të dhënë në një hipersipërfaqe jo karakteristike që kalon nëpër $P$ . Këtu të dhënat fillestare të përshkruara përbëhen nga të gjitha derivatet (tërthor) të funksionit në sipërfaqe deri në një më pak se rendi i ekuacionit diferencial.

Shembuj

Me një këmbim linear të ndryshoreve, çdo ekuacion i formës$$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$$me$$B^{2}-AC>0$$mund të transformohet në ekuacionin e valës, përveç termave të rendeve më të ulëta të cilët janë të parëndësishëm për kuptimin cilësor të ekuacionit. Ky përkufizim është analog me përkufizimin e një hiperbole planare.

Ekuacioni i valës njëdimensionale:$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$$është një shembull i një ekuacioni hiperbolik. Ekuacionet valore dydimensionale dhe tredimensionale gjithashtu hyjnë në kategorinë e EDP hiperbolike. Ky lloj ekuacioni diferencial i pjesshëm hiperbolik i rendit të dytë mund të transformohet në një sistem hiperbolik të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë.