Çdo matricë katrore reale A mund të zbërthehet si
A
=
Q
R
,
{\displaystyle A=QR,}
ku Q është një matricë ortogonale (kolonat e saj janë vektorë njësi ortogonalë që do të thotë
Q
T
=
Q
−
1
{\displaystyle Q^{\textsf {T}}=Q^{-1}}
R është një matricë trekëndore e sipërme. Nëse A ka të anasjelltë, atëherë faktorizimi është unik nëse kërkojmë që elementet diagonale të R të jenë pozitive.
Në përgjithësi, ne mund të faktorizojmë një matricë komplekse m × n A , me m ≥ n m × m Q dhe një matrice trekëndore të sipërme, R, m × n . Duke qenë se rreshtat e poshtëm ( m − n ) të një matrice trekëndore të sipërme m × n përbëhen tërësisht nga zero, shpesh është e dobishme ta ndash R , ose të dyja R dhe Q :
A
=
Q
R
=
Q
[
R
1
0
]
=
[
Q
1
Q
2
]
[
R
1
0
]
=
Q
1
R
1
,
{\displaystyle A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1},}
ku R 1 është një matricë n × n trekëndore e sipërme, 0 është një matricë zero (m − n )×n , Q 1 është m × n , Q 2 është m ×(m − n )Q 1 dhe Q 2 të dyja kanë shtylla ortogonale.
Llogaritja e dekompozimit QR
Redakto
Ka disa metoda për llogaritjen reale të faktorizimit QR, të tilla si me anë të procesit Gram-Schmidt , shndërrimet Householder ose rrotullimet Givens . Secili ka një numër përparësish dhe mangësish.
Redakto
Konsideroni procesin Gram-Schmidt të zbatuar mbi shtyllat e matricës me rank të plotë
A
=
[
a
1
⋯
a
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}}
prodhim të brendshëm
⟨
v
,
w
⟩
=
v
T
w
{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {w} }
⟨
v
,
w
⟩
=
v
†
w
{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\dagger }\mathbf {w} }
Përcaktoni projeksionin :
proj
u
a
=
⟨
u
,
a
⟩
⟨
u
,
u
⟩
u
{\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }\mathbf {a} ={\frac {\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {a} \right\rangle }{\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \right\rangle }}{\mathbf {u} }}
pastaj:
u
1
=
a
1
,
e
1
=
u
1
‖
u
1
‖
u
2
=
a
2
−
proj
u
1
a
2
,
e
2
=
u
2
‖
u
2
‖
u
3
=
a
3
−
proj
u
1
a
3
−
proj
u
2
a
3
,
e
3
=
u
3
‖
u
3
‖
⋮
⋮
u
k
=
a
k
−
∑
j
=
1
k
−
1
proj
u
j
a
k
,
e
k
=
u
k
‖
u
k
‖
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {a} _{1},&\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {a} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\mathbf {a} _{2},&\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {a} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\mathbf {a} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\mathbf {a} _{3},&\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\&\;\;\vdots &&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {a} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\mathbf {a} _{k},&\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}\end{aligned}}}
Tani mund të shprehim
a
i
{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}
a
1
=
⟨
e
1
,
a
1
⟩
e
1
a
2
=
⟨
e
1
,
a
2
⟩
e
1
+
⟨
e
2
,
a
2
⟩
e
2
a
3
=
⟨
e
1
,
a
3
⟩
e
1
+
⟨
e
2
,
a
3
⟩
e
2
+
⟨
e
3
,
a
3
⟩
e
3
⋮
a
k
=
∑
j
=
1
k
⟨
e
j
,
a
k
⟩
e
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{1}&=\left\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{1}\right\rangle \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {a} _{2}&=\left\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{2}\right\rangle \mathbf {e} _{1}+\left\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{2}\right\rangle \mathbf {e} _{2}\\\mathbf {a} _{3}&=\left\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{1}+\left\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{2}+\left\langle \mathbf {e} _{3},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{3}\\&\;\;\vdots \\\mathbf {a} _{k}&=\sum _{j=1}^{k}\left\langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {a} _{k}\right\rangle \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}
ku
⟨
e
i
,
a
i
⟩
=
‖
u
i
‖
{\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {a} _{i}\right\rangle =\left\|\mathbf {u} _{i}\right\|}
A
=
Q
R
{\displaystyle A=QR}
ku:
Q
=
[
e
1
⋯
e
n
]
{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}
dhe
R
=
[
⟨
e
1
,
a
1
⟩
⟨
e
1
,
a
2
⟩
⟨
e
1
,
a
3
⟩
⋯
⟨
e
1
,
a
n
⟩
0
⟨
e
2
,
a
2
⟩
⟨
e
2
,
a
3
⟩
⋯
⟨
e
2
,
a
n
⟩
0
0
⟨
e
3
,
a
3
⟩
⋯
⟨
e
3
,
a
n
⟩
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
⟨
e
n
,
a
n
⟩
]
.
{\displaystyle R={\begin{bmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{2}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{3}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {a} _{n}\rangle \\0&\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{2}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{3}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{n}\rangle \\0&0&\langle \mathbf {e} _{3},\mathbf {a} _{3}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {e} _{3},\mathbf {a} _{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {a} _{n}\rangle \\\end{bmatrix}}.}
Merrni parasysh zbërthimin e
A
=
[
12
−
51
4
6
167
−
68
−
4
24
−
41
]
.
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}.}
Kujtojmë se një matricë ortonormale
Q
{\displaystyle Q}
Q
T
Q
=
I
{\displaystyle Q^{\textsf {T}}Q=I}
Atëherë mund të llogarisim
Q
{\displaystyle Q}
U
=
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
12
−
69
−
58
/
5
6
158
6
/
5
−
4
30
−
33
]
;
Q
=
[
u
1
‖
u
1
‖
u
2
‖
u
2
‖
u
3
‖
u
3
‖
]
=
[
6
/
7
−
69
/
175
−
58
/
175
3
/
7
158
/
175
6
/
175
−
2
/
7
6
/
35
−
33
/
35
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\mathbf {u} _{2}&\mathbf {u} _{3}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}12&-69&-58/5\\6&158&6/5\\-4&30&-33\end{bmatrix}};\\Q={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}&{\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}&{\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}6/7&-69/175&-58/175\\3/7&158/175&6/175\\-2/7&6/35&-33/35\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
Kështu, ne përftojmë
Q
T
A
=
Q
T
Q
R
=
R
;
R
=
Q
T
A
=
[
14
21
−
14
0
175
−
70
0
0
35
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}Q^{\textsf {T}}A&=Q^{\textsf {T}}Q\,R=R;\\R&=Q^{\textsf {T}}A={\begin{bmatrix}14&21&-14\\0&175&-70\\0&0&35\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
