Matrica

Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varësisht nga elemente e saj mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.

Një matricë m × n : m rreshta janë horizontale dhe n kolona janë vertikale. Çdo element i një matrice shënohet shpesh me një ndryshore me dy nënshkrime . Për shembull, $a_{21}$përfaqëson elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë të matricës.

Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [$a$_ik]_m,n.

Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave $a$_ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n) të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.
${\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.

Teoria e matricës është dega e matematikës që fokusohet në studimin e matricave. Fillimisht ishte një nëndegë e algjebrës lineare, por shpejt u rrit për të përfshirë lëndë të lidhura me teorinë e grafikëve, algjebrën, kombinatorikën dhe statistikën.

Jo të gjitha matricat janë të lidhura me algjebrën lineare. Ky është, në veçanti, rasti në teorinë e grafeve, të matricave të ndodhisë dhe matricave të afërsisë . Ky artikull fokusohet në matricat që lidhen me algjebrën lineare dhe, nëse nuk specifikohet ndryshe, të gjitha matricat përfaqësojnë harta lineare ose mund të shihen si të tilla.

Përkufizimi

Një matricë është një grup drejtkëndor numrash (ose objektesh të tjera matematikore), të quajtur hyrjet e matricës. Matricat i nënshtrohen veprimeve standarde si mbledhja dhe shumëzimi . Më së shpeshti, një matricë mbi një fushë $F$ është një grup drejtkëndor i elementeve të $F$ . Një matricë reale dhe një matricë komplekse janë matrica, hyrjet e të cilave janë përkatësisht numra realë ose numra kompleksë . Llojet më të përgjithshme të hyrjeve diskutohen më poshtë . Për shembull, kjo është një matricë reale:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.$

Veprimet me matrica

Mbledhja

Shuma e dy $m\times n$-matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Shembull konkret

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\3&3&3\end{pmatrix}}$

Prodhimi Skalar

Një matricë shumëzohet me një skalar , nëse të gjitha hyrjet e matricës shumëzohen me skalarin :

$\lambda \cdot A=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Shembull konkret

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 3&2\cdot 2\\2\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6&4\\2&4&4\end{pmatrix}}$

Transpozimi i matricës

E transpozuara e një matrice m x n të shënuar si A , është matrica A^T e marrë duke kthyer rreshtat e matricës A në shtylla dhe shtyllat në kolona. Pra në thelb matrica e transpozuar merret duke vendosur vertikalisht rreshtat e matricës A ose duke vendosur horizontalisht shtyllat e po kësaj matrice.

$(A^{T})_{i,j}=A_{j,i}$

Shembull konkret

${\begin{bmatrix}1&4&-1&0\\-2&1&0&1\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}1&-2\\4&1\\-1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

Prodhimi i dy matricave

Prodhimi i dy matricave është pak më i ndërlikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica $A=(a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m}$ dhe $B=(b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n}$ shumëzohen, duke shumëzuar rreshtin e parë të matricës se parë me shtyllën e parë të matricës së dytë për t'u fituar hyrja e parë e matricës e kështu me rradhë. Shumëzimi i dy matricave përcaktohet nëse dhe vetëm nëse numri i kolonave të matricës së majtë është i njëjtë me numrin e rreshtave të matricës së djathtë. Nëse A është një matricë me përmasa m x n dhe B është një matricë me përmasa n x p, atëherë produkti i tyre AB është matrica m x p.

$A\cdot B=(c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}$ dhe $c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

Shembull konkret

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$

Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:

$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$

Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit.

Veprime të tjera me matrica

Gjurma

Gjurma e një matrice katrore A, tr(A), jepet si shuma e elementeve të diagonales kryesore. Nëse pak më lart u shpreh që shumëzimi i matricave nuk është ndërrues, gjurma e prodhimit të dy matricave është e pavarur nga rendi i faktorëve:

$tr({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=tr({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}})$

Kjo është e menjëhershme nga përkufizimi i shumëzimit matricor:

$tr({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=tr({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}})$

Duhet thënë se në rastin e shumëzimit të më shumë se 2 matricave, për një permutacion të çfarëdoshëm të tyre formula nuk vlen. Gjithashtu ajo është e vlefshme për rastin e transpozimit:

$tr(A)=tr(A^{T})$

Përcaktori

Përcaktori i një matrice katrore A i shënuar si det(A) ose |A| është një numër i cili kodon disa veti të matricës. Një matricë është e invertueshme (ka të anasjelltë) vetëm nëse përcaktori është jozero. Vlera absolute e tij jep sipërfaqen (në R²) ose vëllimi (në R³) të shëmbëllimit të katrorit ose kubit njësi. Ndërkohë që shenja i korrespondon orientimit të hartës lineare korresponduese. Përcaktori është pozitiv vetëm nëse orientimi i boshteve ruhet.

Autovlerat dhe autovektorët

Një numër $\lambda$ dhe një vektor $v$ jozero që kënaqin barazimin:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}}$

quhen një vlerë e vetë (autovlerë) dhe vektor i vetë (autovektor) i matricës A respektivisht. Për të gjetur të gjitha autovlerat e një matrice katrore duhet të zgjidhim:

$\det({\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}})=0$

Nga ky barazim rezulton një polinom monik i shkallës n (sa dimensionet e matricës). Kështu ky polinom ka të shumtën n zgjidhje të ndryshme. Këto mund të jenë komplekse edhe nëse elementet e matricës janë reale.

Zbatime

Zbatimi i parë i matricave është ai i zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare me dy ose më shumë ndryshore. Supozojmë se kemi një sistem të tillë ekuacionesh:

${\begin{cases}2x+2y+z=1\\3x-2y+2z=0\\-x+3y+z=2\end{cases}}$

Duke përdorur eleminimin gausian mund të arrijmë në trajtën e mëposhtme:

Ky sistem mund të rishkruhet në trajtë matricore si $A{\vec {x}}={\vec {b}}$ , ku $A$ - është matrica e koeficientëve para $x,y{\text{ dhe }}z$, ${\vec {x}}$ është vektori shtyllë me tre ndryshoret si variabla dhe ${\vec {b}}$ është vektori i termave të lirë. Në praktikë:

${\begin{bmatrix}2&2&1\\3&-2&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}$

$A$ $b$ $x$

Kështu nëse rikujtojmë vetitë e shumëzimit dimë se për çdo numër $a$ vlen ky rezultat: $a\cdot a^{-1}=1$. Pra $3\cdot {\frac {1}{3}}=1{\text{ po ashtu }}2\cdot {\frac {1}{2}}=1$ e me rradhë. Në të njëjtën mënyrë nëse kemi relacionin e mësipërm mund të përftojmë zgjidhjen e sistemit në këtë mënyrë:

$Ax=b$

$A^{-1}\cdot Ax=A^{-1}b$ (shumëzojmë me matricën e anasjelltë, $A^{-1}$, nga të dyja anët)

$I\cdot x=A^{-1}b$ (në anën e majtë marrim matricën njësi, $I$, ashtu si nga shumëzimi i numrave merrnim $1$)

$x=A^{-1}b$

Dhe kështu marrim zgjidhjen e sistemit si matrica e anasjelltë e asaj të koeficientëve që shumëzon termat e lirë

Shiko dhe këtë

• Përcaktori
• Wiki Libri: Matricat dhe përcaktorët