Numri kompleks është përgjithësim i numrit real me ndihmën e një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.

PërkufizimiRedakto

Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C, ndërsa numri kompleks në trajtën

 

ku   dhe   janë numra real dhe   njësia imagjinare e cila e plotëson vetinë : . Numri real   është pjesa reale dhe   është pjesa imagjinare.

P.sh. për numrin kompleks 3 + 2i numri 3 është pjesa reale dhe 2 është pjesa imagjinare. Nëse  , atëherë zakonisht shënojmë a = Re(z) dhe b = Im(z)

Bashkësia e numrave real R mund të kuptohet si nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleks C sepse ç'do numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0.

Përkufizimi formalRedakto

Është e papranueshme rigorozisht që thjesht të supozojmë se ekziston një lloj numri katrori i të cilit është i barabartë me -1. Përkufizimi i tillë është intuitiv ne më poshtë do të japim përkufizimin formal apo aksiomatik. Themi se bashkësia e numrave kompleks është bashkësi e dysheve të renditura të numrave real e cila në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin e këtyre dysheve të renditura i plotëson kushtet

(ab) + (cd) = (a + cb + d)
(ab)·(cd) = (a·c − b·db·c + a·d)

Pasi sipas përkufizimit të shumëzimit vlen se (0, 1)·(0, 1) = (−1, 0), ne e gjejmë i në mënyrë konstruktive duke ia shoqëruar atij dyshen e renditur (0, 1). Numrit real   ia shoqërojmë dyshen (a, 0) dhe numrit real   ia shoqërojmë dyshen e renditur (0b) prandaj në përgjithësi kemi

(ab) =(a0)+(0b)= a + ib.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleksRedakto

 
Paraqitja gjeometrike e   dhe të konjuguarit të tij   në rrafshin kompleks.

Sipas përkufizimit të numrit kompleks si dyshe e renditur konkludojmë se numri kompleks mund të shikohet si pikë në rrafsh koordinativ këndrejt të cilin e quajmë rrafsh kompleks. Koordinatat e numrit janë x = Re(z) dhe y = Im(z)

Vlera absolute ose moduli i numrit kompleksRedakto

Vlerë absolute ose modul i numrit kompleks  , është  

Vetitë kryesore janë:

  ku   , poqese  
  (Jobarazimi i trekëndëshit)
 

KonjugacioniRedakto

I konjuguar i numrit kompleks   është numri  , shënojmë  . Sipas figurës,   është simetrik me z ndaj boshtit  

Disa nga vetitë e konjugacionit:

 
 
 
 
 
 
 
 
    ku z është i ndryshëm nga 0

Forma polare e numrit kompleksRedakto

 
Figura 2: Argumenti φ dhe moduli r e përcaktojnë pozitën e pikës në një diagram të Arg dhe;   ose   janë format polare për paraqitjen e pikës gjegjësisht numrit kompleks.

Diagrami nga figura djathtas sugjeron veti të ndryshme.

  • Së pari distanca e pikës z nga origjina (i shënuar me r në figurën 2) njihet si vlerë absolute ose modul dhe shënohet me  . Nga Teorema e Pitagorës,
 

Në përgjithësi largësia mes numrave kompleks jepet me  , e cila e kthen bashkësinë e numrave kompleks në hapësirë metrike dhe këtu mund të fusim konceptin e limitit dhe të vazhdueshmërisë së funksioneve. Të gjitha vetitë standarde të hapësirës dydimensionale plotësohen për rrafshin kompleks duke përfshirë atë se moduli i numrit kompleks është jonegativ dhe plotësimin e jobarazimit të trkëndëshit (  for all z, w).

  • Së dyti argumenti i numrit kompleks   është këndi φ i dhënë në figurën 2, shënohet si  . Si edhe me modulin argumenti mund të gjindet nga  :
  pra  ).

Vlera e φ ndryshon për një shumfish të 2π dhe përsëri jep këndin e njejtë.

Së bashku këto spjegime japin një mënyrë të re për paraqitjen e numrit kompleks në formën polare, si kombinim i vlerës së modulit këndit që ai formon me boshtin x   from the polar pair (r,φ)). Këto fakte mund të shënohen në mënyra të ndryshme si p.sh

 

forma trigonometrike, dhe sipas Formulës së Eulerit

 

e cila quhet forma eksponenciale.

Operacionet në formën polareRedakto

Operacionet si Shumëzimi, pjestimi fuqizimi dhe rrënjëzimi kur një numër kompleks është shënuar në formën polare janë mjaft të thjeshta:

  • Shumëzimi
 
  • Pjestimi
 
  • Fuqizimi

Fuqizimi i numrit kompleks me një eksponent numër të plotë n bëhet sipas formulës:

  .........Formula e De Moivreit

  • Rrënjëzimi

Rrënjëzimi i numrit kompleks në formën polare gjithashtu është mjaft i thjeshtë. Ç'do numër kompleks z i cili e plotëson barazimin zn = c (për n numër i plotë pozitiv) quhet rrënja e ntë e numrit kompleks c. Nëse c nuk është i barabartë me 0, atëherë ekzistojnë gjithsejt n rrënjë të nta të numrit c. Le të jetë c = re  dhe  ; atëherë bashkësia e rrënjëve të nta të c është:

 

këtu   paraqet rrënjën e ntë numrit real r. Nëse c = 0, atëherë e vetmja rrënjë e ntë e c është vetë 0. Vërejmë se rrënjët ndryshojnë vetëm për një rrotullim për një kënd prej  , rrënjët e nta të njëshit pra të gjitha rrënjët e c i takojnë një rreti me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.

Lidhje të jashtmeRedakto