Wikipedia

Numrat realë

sasi përgjatë një vije të vazhdueshme

Në matematikë, një numër real është një numër që mund të përdoret për të matur një madhësi vazhdueshme njëdimensionale siç është largësia, kohëzgjatja ose temperatura . Këtu, e vazhdueshme do të thotë se çiftet e vlerave mund të kenë dallime të vogla sipas volitjes së lexuesit. [a] Çdo numër real mund të përfaqësohet pothuajse në mënyrë unike nga një zgjerim dhjetor i pafundëm. [b] [1]

Një simbol për bashkësinë e numrave realë

Numrat realë janë themelorë në llogaritje (dhe në përgjithësi në të gjithë matematikën), veçanërisht nga roli i tyre në përkufizimet klasike të limiteve, vazhdimësisë dhe derivateve . [c]

Bashkësia e numrave realë shënohet R ose [2] dhe nganjëherë quhet "të vërtetët". [3] Mbiemri real, i përdorur në shekullin e 17-të nga René Descartes, dallon numrat realë nga numrat imagjinarë si rrënjët katrore të −1 . [4]

Numrat realë përfshijnë numrat racionalë, të tillë si numri i plotë −5 dhe thyesa 4 / 3 . Pjesa tjetër e numrave realë quhen numra irracionalë, dhe përfshijnë numra algjebrikë (siç është rrënja katrore √ 2 = 1.414... ) dhe numra transhedentalë (si π = 3.1415. . . ). [4]

Numrat realë mund të mendohen si të gjitha pikat në një drejtëz, e quajtur drejtëza numerike ose drejtëza reale, ku pikat që u korrespondojnë numrave të plotë ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) janë të baraslarguara.

Drejtëza e numrave realë

  Përshkrimet joformale të mësipërme të numrave realë nuk janë të mjaftueshëm për të siguruar korrektësinë e provave të teoremave që përfshijnë numra realë. U kuptua se nevojitej një përkufizim më i mirë dhe përpunimi i një përkufizimi të tillë ishte një zhvillim madhor i matematikës së shekullit të 19-të dhe është themeli i analizës reale, studimit të funksioneve reale dhe serive me vlera reale.

Historia Redakto

 
Numrat realë   përfshijnë numrat racionalë  , të cilët përfshijnë numrat e plotë  , të cilat nga ana e tyre përfshijnë numrat natyrorë  

Thyesat e thjeshta u përdorën nga Egjiptianët rreth vitit 1000 BC; në kohërat e Vedave " Shulba Sutras " ("Rregullat e akordit") rreth 600 para Krishtit përfshijnë atë që mund të jetë "përdorimi" i parë i numrave irracionalë. Koncepti i irracionalitetit u pranua në mënyrë të heshtur nga matematikanët e hershëm indianë si Manava (c. 750–690 para Krishtit), i cili ishte i vetëdijshëm se rrënjët katrore të numrave të caktuar, si 2 dhe 61, nuk mund të përcaktoheshin saktësisht. [5] Rreth 500 Para Krishtit, matematikanët grekë të udhëhequr nga Pitagora kuptuan gjithashtu se rrënja katrore e 2 është irracionale.

Mesjeta solli pranimin e zeros, numrave negativë, numrave të plotë, dhe numrave thyesorë, së pari nga Indianët dhe matematikanët kinezë, e më pas nga ata arabë, të cilët ishin të parët që i trajtuan numrat irracionalë si objekte algjebrike. Matematikanët arabë i bashkuar konceptet "numër" dhe "magnitudë" në një ide më të përgjithshme të numrave realë.[6] Matematikani egjiptian Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) ishte i pari që i pranoi numrat irracionalë si zgjidhje të ekuacioneve kuadratike, ose si koeficientë në një ekuacion (shpesh në formën e rrënjëve katrore, kubike dhe kuartike).[7] Në Europë, të tillë numra, quheshin irracionalë ose <i id="mwApM">shurdhë</i>.

Në shekullin e 16-të, Simon Stevin krijoi bazën për shënimet dhjetore moderne dhe këmbënguli se nuk kishte asnjë ndryshim midis numrave racionalë dhe irracionalë në këtë drejtim.

Në shekullin e 17-të, Dekarti paraqiti termin "real" për të përshkruar rrënjët e një polinomi, duke i dalluar ato nga ato "imagjinare".

Në shekujt e 18-të dhe të 19-të, u punua shumë për numrat irracionalë dhe trashendentalë. Lambert (1761) dha një provë të gabuar që π nuk mund të jetë racionale; Lezhandre (1794) përfundoi provën [8] dhe tregoi se π nuk është rrënja katrore e një numri racional. [9] Liouville (1840) tregoi se as e as e 2 nuk mund të jenë një rrënjë e një ekuacioni kuadratik me koeficientë numra të plotë, dhe më pas zbuloi ekzistencën e numrave transhedentalë; Cantor (1873) e zgjeroi dhe e thjeshtoi shumë këtë provë. [10] Hermite (1873) vërtetoi se e është transcendentale, dhe Lindemann (1882), tregoi se π është transcendental. Prova e Lindemann u thjeshtua shumë nga Vajershtrasi (1885), Hilbert (1893), Hurwitz, [11] dhe Gordan . [12]

Zhvilluesit e analizës matematike përdorën numra realë pa i përcaktuar ata në mënyrë rigoroze. Përkufizimi i parë rigoroz u botua nga Cantor në 1871. Në 1874, ai tregoi se bashkësia e të gjithë numrave realë është e panumërueshme dhe e pafundme, por bashkësia e të gjithë numrave algjebrikë është e pafundme dhe e numërueshme . Prova e parë e panumërueshmërsë e Cantor ishte e ndryshme nga argumenti i tij i famshëm diagonal i botuar në 1891.


Gabim referencash: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "lower-alpha", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="lower-alpha"/>

  1. ^ "Real number". Oxford Reference. 2011-08-03. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Real Number". mathworld.wolfram.com. Marrë më 2020-08-11. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ "real". Oxford English Dictionary (bot. 3rd). 2008. 'real', n.2, B.4. Mathematics. A real number. Usually in plural {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  4. ^ a b "Real number". Encyclopedia Britannica. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Britannica" defined multiple times with different content
  5. ^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, red. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).
  6. ^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, vëll. 500 no. 1, fq. 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  7. ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  8. ^ Beckmann, Petr (1971). A History of π (PI). St. Martin's Press. fq. 170. ISBN 9780312381851. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  9. ^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, fq. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, marrë më 2015-11-15 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).
  10. ^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, fq. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, marrë më 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  11. ^ Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen: 134–35. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  12. ^ Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43: 222–224. doi:10.1007/bf01443647. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/w/index.php?title=Numrat_realë&oldid=2571178"