Numri e

Numri e së bashku me numrat $0$ , $1$, $pi$ dhe njësinë imagjinare $i$ është njëra prej konstantave më të rëndësishme në matematikë. Numri e është numri i vetëm real i tillë që funksioni e^x gjatë derivimit të tij nuk ndryshon. Funksioni $e^{x}$ quhet funksion eksponencial dhe funksioni invers i tij është funksion logaritmik i cili për bazë e ka pikërisht numrin e. Numri e quhet edhe numër i Eulerit ose i Neperit.

Pasi e është numër transhendent dhe irracional vlera e tij nuk mund të jepet në formë të një numri dhjetor të fundëm por ai është një numër dhjetor i pafundëm dhe joperiodik vlera e tij me 20 shifra pas presjes është:

2.71828 18284 59045 23536….

Historiku

Konstanta e për herë të parë u shfaq në vitin 1618 në punimet në lidhje me logaritmet të matematikanit skocez John Napier jo si konstantë e izoluar, por vetëm si bazë e logaritmeve. Zbulimi i atribuohet matematikanit zviceran Jacob Bernoulli, i cili u përpoq të gjejë limitin e vargut:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

vlera e të cilit në fakt është numri e (shënimi me këtë germë është dhënë nga matematikani Leonhard Euler në vitin 1727).

Paraqitja e numrit e

Numri e shfaqet në mënyra të ndryshme edhe atë si seri e pafundme, prodhim i pafundëm, thyesë e vazhdueshme, ose si limit i një vargu të pafundëm paraqitje kjo e cila është edhe kryesorja dhe merret si përkufizuesja e numrit në kurset fillestare të analizës matematike

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

Për llogaritjen e vlerës së tij me saktësi të dëshiruar më e përshtatshme është seria e pafundme

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

e cila konvergjon shumë shpejt.

Një paraqitje si thyesë e pafundme e vazhdueshme është kjo:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {2} }+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {4} }+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}$

Numri e dhe numrat kompleks

Funksioni eksponencial e^x si seri e Taylorit jepet me

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

nga ky barazim nëse në vend të x zëvendësojmë ix. dhe nëse kemi parasysh zhvillimin në seri të Taylorit për Funksionet trigonometrike sin x dhe cos x atëherë e fitojmë formulën e Eulerit:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!$

nga e cila për x = π fitohet identiteti i Eulerit:

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Ngjajshëm,

$e^{i\pi }=-1,\,\!$

prej ku rrjedh se

$\log _{e}(-1)=i\pi .\,\!$

Për më tepër sipas vetive të fuqive

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

ky barazim njihet si Formula e de Moivreit.

Lidhje të jashtme

• The number e to 1 million places
• Earliest Uses of Symbols for Constants
• e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH Arkivuar 3 mars 2009 tek Wayback Machine
• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
• "The story of e" Arkivuar 20 dhjetor 2008 tek Wayback Machine