Funksionet trigonometrike

Funksionet trigonometrike janë funksione të një këndi. Ato janë të rëndësishme për studimin e trekëndëshit dhe modelimin e dukurive periodike (të përsëritura në kohë). Funksionet trigonometrike përkufizohen si herës i dy prej brinjëve të trekëndëshit kënddrejtë. Ato gjithashtu përkufizohen edhe në rrethin me rreze 1 njësi me qendër në origjinë. Sipas përkufizimit më modern, ato mund të merren edhe si seri (shuma) të pafundme ose si zgjidhje të disa ekuacioneve diferenciale.

E si përkufizohen funksionet trigonometrike?

Trekëndëshi kënddrejt përmban një kënd të drejtë 90° ose (π/2 radian) të cilin e shënojmë me C. Këndet A dhe B mund të ndryshojnë. Funksionet trigonometrike të një këndi i përcaktojmë si herës i brinjëve të trekëndëshit këndrejt.

Le të jetë A, këndi i një trekëndëshi të çfarëdoshëm këndrejt për brinjët e të cilit i marrim këto emërime

• Hipotenuza është brinja që gjendet përballë këndit të drejtë (brinja më e madhe) e kemi shënuar me h.
• Kateti përballë këndit A është në këtë rast brinja a.
• Kateti i anëshkruar këndit A në rastin tonë është brinja b.

Të gjithë trekëndëshat në një plan Euklidian shumën e këndeve të brendshme e kanë 180 ° ($\pi$ radian); prandaj shuma e dy këndeve tjera të trekëndëshit këndrejt është 90°. Përkufizimet që do ti japim më poshtë vlejnë për një kënd vlera e të cilit shtrihet mes 0 dhe 90°. Këtë përkufizim do ta zgjerojmë më vonë me anë të rrethit trigonometrik edhe për kënde tjera.

Sinusi

Sinusi është raporti mes katetit përballë këndit dhe hipotenuzës.

$\sin A={\frac {a}{h}}\,.$

Kemi parasysh se ky raport nuk varet nga përmasat e trekëndëshit dhe është i njëjtë për të gjithë trekëndëshat e ngjashëm.

Kosinusi

Kosinusi është raporti midis katetit te anëshkruar dhe hipotenuzës.

$\cos A={\frac {b}{h}}\,.$

Tangjenti

Tangjenti i një këndi është raporti midis këndit perballë me katetin anëshkruar këndit.

$\tan A={\frac {a}{b}}\,.$

Kotangjenti

Kotangjenti është herësi në mes katetit ku shtrihet këndi dhe katetës përball këndit:

$\cot A={\frac {b}{a}}\,.$

Funksionet trigonometrike për këndin e gjerë

Të gjitha funksionet trigonometrike të këndit θ mund të paraqiten gjeometrikisht në rrethin trigonometrik me rreze një njësi dhe me qendër në pikën O.

Ndryshe të gjitha funksionet trigonometrike mund të përkufizohen në terma të rrethit njësi me qendër në pikën O (shih figurën djathtas).

Përkufizimi i funksioneve trigonometrike me seri të pafundme

Duke përdorur argumente gjeometrike dhe vetitë e limiti, mund të tregojmë se derivati i sinusit është kosinusi dhe derivati i kosinusit është negativi i sinusit. Në analizë këndet maten me radian tani duke përdorur seritë e Taylorit mund të tregojmë se plotësohen identitetet e mëposhtme

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

këto identitete në disa raste përdoren edhe si përkufizim për sinus dhe kosinusin.

Funksionet tjera kanë një zbërthim në seri i cili është shumë i komplikuar dhe shfrytëzon terma të disa funksioneve të cilat janë joelementare. Zbërthimi i tangjentit është

${\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\text{për}}|x|<{\frac {\pi }{2}}\,,\end{aligned}}$

ku

U_n është numri i n i permutacionit,

B_n është Numri i Bernoullit, dhe

E_n është Numri i Eulerit.

Për kotangjentin

${\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots ,\qquad {\text{per }}0<|x|<\pi \,.\end{aligned}}$

Funksionet e anasjellta trigonometrike

Funksionet trigonometrike janë periodike, kështu që ato nuk mund të jenë injektive sepse për çdo $y\in [-1;1]$ ka një pafundësi vlerash të $x$-it (për të qenë injektiv çdo $x$ duhet të lidhet vetëm me një $y$. Kjo do të thotë se nga një pikëpamje strikte ato nuk kanë një funksion të anasjelltë (invers). Në mënyrë që të përcaktojmë një funksion të anasjelltë duhet të kufizojmë bashkësinë e përcaktimit në mënyrë që funksioni të jetë bijektiv. Funksionet në vijim, në të majtë janë të përcaktuara nga ekuacioni në të djathtë, duhet theksuar se këto nuk janë të identitete të provuara. Funksionet inverse kryesore janë të përcaktuara si :

${\begin{matrix}{\mbox{për}}&-{\tfrac {1}{2}}\pi \leq y\leq {\tfrac {1}{2}}\pi ,&y=\arcsin x&{\mbox{nese}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{për}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{nëse}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{për}}&-{\tfrac {1}{2}}\pi <y<{\tfrac {1}{2}}\pi ,&y=\arctan x&{\mbox{nëse}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{për}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{nëse}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}$

Për funksionet trigonometrike inverse, shënimet sin⁻¹ dhe cos⁻¹ përdoren shpesh në vend të arcsin dhe arcos, etj. Duhet pasur kujdes për shkak se kur ky simbol përdoret, funksionet inverse mund të ngatërrohen me inversët multiplikative të funksioneve. Shënimi që përdor prefiksin "arc-" i shmang konfuzionet e tilla.

Ashtu si funksionet sinus dhe kosinus, funksionet trigonometrike inverse mund të përcaktohen me anë të serive të pafundme. Për shembull:

$\arcsin z=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \,.$

Këto funksione mund të përcaktohen gjithashtu duke provuar se ato janë antiderivate të funksioneve të tjera. Arcsin, për shembull, mund të shkruhet si integrali i mëposhtëm:

$\arcsin z=\int _{0}^{z}(1-x^{2})^{-1/2}\,dx,\quad |z|<1.$

Duke përdorur logaritmin kompleks, mund të arrijmë në përgjithësimin e këtyre funksioneve për argumente komplekse:

$\arcsin z=-i\log \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right),\,$

$\arccos z=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right),\,$

$\arctan z={\tfrac {1}{2}}i\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right).$