Gjatësia e harkut

Gjatësia e harkut është largësia midis dy pikave përgjatë një prerje të kurbe.

Kur korrigjohet, kurba jep një segment të vijës së drejtë me të njëjtën gjatësi si gjatësia e harkut të kurbës.

Gjatësia e harkut s e një spirale logaritmike në funksion të parametrit të saj θ .

Përcaktimi i gjatësisë së një harku të çrregullt duke përafruar segmentin e harkut si segmente drejtëvizore të lidhura quhet korigjimi kurbe. Një kurbë e korigjueshme ka një numër të fundëm segmentesh në korigjimin e saj.

Nëse një kurbë mund të parametrizohet si një funksion injektiv dhe vazhdimisht i diferencueshëm (d.m.th., derivati është një funksion i vazhdueshëm) $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$, atëherë kurba është e korrigjueshme (dmth. ka një gjatësi të kufizuar).

Shpikja/Zbulimi i llogaritjes infiniteminale çoi në një formulë të përgjithshme që ofron zgjidhje në formë të mbyllur në disa raste.

Qasje e përgjithshme

Përafrimi i një kurbe nga segmente të shumta lineare, i quajtur korrigjimi i një lakore.

Një kurbë në rrafsh mund të përafrohet duke lidhur një numër të kufizuar pikash në kurbë duke përdorur segmente drejtëvizore për të krijuar një shteg poligonal . Meqenëse është e thjeshtë të llogaritet gjatësia e secilit segment linear (për shembull, duke përdorur teoremën e Pitagorës në hapësirën Euklidiane), gjatësia totale e përafrimit mund të gjendet duke mbledhur gjatësitë e secilit segment linear; ai përafrim njihet si distanca kordale (kumulative) .

Nëse kurba nuk është tashmë një shteg poligonal, atëherë përdorimi i një numri progresivisht më të madh të segmenteve të vijës me gjatësi më të vogla do të rezultojë në përafrime më të mira të gjatësisë së kurbës. Gjatësitë e përafrimeve të njëpasnjëshme nuk do të ulen dhe mund të vazhdojnë të rriten pafundësisht, por për kthesat e lëmuara ato do të priren në një kufi të fundëm pasi gjatësitë e segmenteve bëhen arbitrarisht të vogla .

Gjetja e gjatësisë së harqeve me integrim

çerek rrethi

Nëse një kurbë planare në $\mathbb {R} ^{2}$ përcaktohet nga ekuacioni $y=f(x),$ ku $f$ është vazhdimisht i diferencueshëm, atëherë është thjesht një rast i veçantë i një ekuacioni parametrik ku $x=t$ dhe $y=f(t).$ Largësia Euklidiane e çdo segmenti pambarimisht të vogël të harkut mund të jepet nga:

$${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.$$

Gjatësia e harkut jepet më pas nga:

$$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.$$

Integrimi numerik

Në shumicën e rasteve, duke përfshirë edhe kurbat e thjeshta, nuk ka zgjidhje me formë të mbyllur për gjatësinë e harkut dhe është i nevojshëm integrimi numerik . Integrimi numerik i integralit të gjatësisë së harkut është zakonisht shumë efikas. Për shembull, merrni parasysh problemin e gjetjes së gjatësisë së një të katërtës së rrethit njësi duke integruar numerikisht integralin e gjatësisë së harkut. Gjysma e sipërme e rrethit njësi mund të parametrizohet si $y={\sqrt {1-x^{2}}}.$ Intervali $x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]$ korrespondon me një të katërtën e rrethit. Që nga ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ dhe $1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),$ gjatësia e një të katërtës së rrethit njësi është

$$\int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$$

Vlerësimi 15-pikësh i rregullit Gauss-Kronrod për këtë integral prej 1.570796 326 808 177 ndryshon nga gjatësia e vërtetë e

$$\arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}$$

me 1.3× 10 −11 dhe vlerësimi i rregullës së kuadraturës së Gausit 16 pikëshef prej 1.570796 326 794 727 ndryshon nga gjatësia e vërtetë vetëm 1.7× 10 −13 . Kjo do të thotë se është e mundur të vlerësohet ky integral pothuajse me saktësi makinerie me vetëm 16 vlerësime integruese.