Identiteti i Beltramit është një identitet në analizën e variacionit . Ai pohon se një funksion u i cili është një ekstremal i integralit
I
(
u
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
u
,
u
′
)
d
x
{\displaystyle I(u)=\int _{a}^{b}f(x,u,u')\,dx}
kënaq ekuacionin diferencial
d
d
x
(
f
−
u
′
∂
f
∂
u
′
)
−
∂
f
∂
x
=
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}=0.}
Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit na thotë se
∂
f
∂
u
−
d
d
x
∂
f
∂
u
′
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial u'}}=0.}
Tani merrni në konsiderate diferencialin e përgjithshëm të funksionalit
f
(
x
,
u
,
u
′
)
{\displaystyle f(x,u,u')}
ekuacionin e Ojler-Lagranzhit në të, ne marrim
d
f
d
x
=
∂
f
∂
x
+
∂
f
∂
u
u
′
+
u
″
∂
f
∂
u
′
=
∂
f
∂
x
+
u
′
(
d
d
x
∂
f
∂
u
′
)
+
u
″
∂
f
∂
u
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{dx}}&={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial u}}u'+u''{\frac {\partial f}{\partial u'}}\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}+u'\left({\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)+u''{\frac {\partial f}{\partial u'}}.\end{aligned}}}
Po të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të Ojler-Lagranzhit me u'. Dy termat e fundit mund te eliminohen, duke zbatuar ligjin e prodhimit për diferencimin tek
d
d
x
(
u
′
∂
f
∂
u
′
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)}
Rezultati mund të rirregullohet si:
d
d
x
(
f
−
u
′
∂
f
∂
u
′
)
−
∂
f
∂
x
=
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}=0.}
Në rastin kur funksionali f është i pavarur nga x , atëherë identiteti i Beltarmit mund të thjeshtohet në
d
d
x
(
f
−
u
′
∂
f
∂
u
′
)
=
0
f
−
u
′
∂
f
∂
u
′
=
constant
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)&=0\\f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}&={\text{constant}}\\\end{aligned}}}
Ana e djathte e këtij ekuacioni është transformimi i Lazhandrit i f ne lidhje me u '.
Po te marrim parasysh pavarësinë e f nga x duke përdorur këtë ekuacion kurdo që është e mundur del që është më e lehte se aplikimi i ekuacionit te Ojler-Lagranzhit .
