Identiteti i Beltramit është një identitet në analizën e variacionit . Ai pohon se një funksion u i cili është një ekstremal i integralit
I ( u ) = ∫ a b f ( x , u , u ′ ) d x {\displaystyle I(u)=\int _{a}^{b}f(x,u,u')\,dx} kënaq ekuacionin diferencial
d d x ( f − u ′ ∂ f ∂ u ′ ) − ∂ f ∂ x = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}=0.}
Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit na thotë se
∂ f ∂ u − d d x ∂ f ∂ u ′ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial u'}}=0.} Tani merrni në konsiderate diferencialin e përgjithshëm të funksionalit f ( x , u , u ′ ) {\displaystyle f(x,u,u')} . Duke zëvendësuar ekuacionin e Ojler-Lagranzhit në të, ne marrim
d f d x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ u u ′ + u ″ ∂ f ∂ u ′ = ∂ f ∂ x + u ′ ( d d x ∂ f ∂ u ′ ) + u ″ ∂ f ∂ u ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{dx}}&={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial u}}u'+u''{\frac {\partial f}{\partial u'}}\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}+u'\left({\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)+u''{\frac {\partial f}{\partial u'}}.\end{aligned}}} Po të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të Ojler-Lagranzhit me u'. Dy termat e fundit mund te eliminohen, duke zbatuar ligjin e prodhimit për diferencimin tek d d x ( u ′ ∂ f ∂ u ′ ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)} ne drejtim te kundërt.
Rezultati mund të rirregullohet si:
d d x ( f − u ′ ∂ f ∂ u ′ ) − ∂ f ∂ x = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}=0.}
Në rastin kur funksionali f është i pavarur nga x , atëherë identiteti i Beltarmit mund të thjeshtohet në
d d x ( f − u ′ ∂ f ∂ u ′ ) = 0 f − u ′ ∂ f ∂ u ′ = constant {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}\right)&=0\\f-u'{\frac {\partial f}{\partial u'}}&={\text{constant}}\\\end{aligned}}} Ana e djathte e këtij ekuacioni është transformimi i Lazhandrit i f ne lidhje me u '.
Po te marrim parasysh pavarësinë e f nga x duke përdorur këtë ekuacion kurdo që është e mundur del që është më e lehte se aplikimi i ekuacionit te Ojler-Lagranzhit .