Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në vitin 1750 nga Ojleri dhe Lagranzhi në studimin e tyre per problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e kurbes përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerë në një pikë te fiksuar per një kohë të caktuar, pavaresisht nga pika fillestare.
Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe ia dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.[1]
Duam që të gjejmë një funksion i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit
Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.
Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues).
Le të jetë gε(x) = f(x) + εη(x) e tille që një perturbim i f, ku η(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(a) = η(b) = 0. Atëherë përcaktojmë
tek me kondita kufitare edhe , ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.
Tani pjesëtojmë intervalin në segmente të njëjta me pika kufitare dhe le të jetë . Në vend ten je funksoni të lëmuar marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse , ku dhe . Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i variablave të dhëna nga
Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret që i korrespondojnë e pikave ku
Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim
Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me marrim
dhe duke marrë limitin kur te anës së djathtë të shprehjes marrim
Termi tregon derivatin variacional të funksionalit , si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.
Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler-Lagranzhit
Duam të gjejmë një funksion i cili kënaq konditat kufitare , , si dhe minimizon koston (vlerën) e funskionalit
Hedhim hipotezën se ka derivate pjesore të para të vazhdueshme. Një hipotezë më e dobët mund të përdort por atëhere prova bëhet më e vështire.
Nqs extremizon koston e funksionalit sipas konditave kufitare, atëhere cdo perturbim i që ruan vlerat kufitare duhet ose të rritë vlerën e (nqs është një minimizues) ose të zvogëlojë (nqs është një maksimizues).
Le të jetë një perturbim i , ku është një funksion i diferencueshëm që kënaq barazimin . Atëhere përcaktojmë
Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :
Ku integrandi i funksionit është L(x, y, y′) = {{1 + y′2}} i vlerësuar tek (x, y, y′) = (x, f(x), f′(x)).
Derivatet pjesore të L janë :
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim
Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.
Për trë gjetur ekuacionet e lrëvizjes prër njrë sistem duhet trë ndjekim krëto hapa:
Nga energjia kinetike , dhe energjia potencialey , llogaritni funksionin Lagranzhian .
Llogarit .
Llogarit dhe nga ajo , . Eshtë e rëndësishme që të trajtohet si një variabël komplete dhe jo si një derivat.
Barazoni . Ky është ekuacioni i Ojler–Lagranzhit.
Zgjidhni ekuacionin diferencial e marrë në hapin e mëlartëm. Pas kësaj, trajtohet "normalisht". Vini re se mënyra e mëlartme mund të japi një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.
Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga principi i Hamiltonit. Veprimi për këtë system është
vi është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
U është potenciali i forcës konservative.
Në këtë rast, Lagrazhiani nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t. (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)
Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mësipërm, marrim :
Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit të potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është impulsi (vrulli).
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,
Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t0, t1], po të kemi vlerat kufitare xi(t0) dhe xi(t1).
Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën
Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,
ku
është fusha, dhe
është një operator diferencial:
Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.
Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.